Основные понятия
本文提出了一種使用張量和愛因斯坦表示法重新表述廣義線性模型的方法,旨在解決傳統矩陣公式的計算效率和組織複雜性問題。
Аннотация
使用愛因斯坦表示法的廣義線性模型的張量公式
導論
廣義線性模型 (GLM) 或廣義多元迴歸模型是一種被廣泛接受的技術,用於執行多個線性迴歸模型。它具有許多優點,例如能夠同時對不同數據組中的協變量進行迴歸。然而,傳統的矩陣公式在某些情況下相對來說不夠簡潔,導致計算效率降低,並增加了統計檢驗自動化的複雜性。
傳統 GLM 公式的缺點
傳統的矩陣公式在處理多組數據時,缺乏編碼相關線性係數和變量的維度。傳統公式的解決方案是簡單地錯開與各組相對應的索引,以便將相關參數和變量都編碼在一個稀疏的平面數據結構中。這種方法會導致數據結構龐大,包含大量零值,從而導致計算量和內存使用量增加。此外,如果事先不知道組數和迴歸變量數,就無法預測矩陣的組織結構。
張量公式的優點
本文提出了一種使用張量和愛因斯坦表示法重新表述 GLM 的方法。在這種方法中,描述重要參數和變量的數據結構是張量,用愛因斯坦表示法表示。這種方法解決了傳統矩陣公式的缺點,並提供了以下優點:
- 減少數據結構中的元素數量: 張量公式顯著減少了數據結構中的元素數量,從而減少了計算量和內存需求。
- 簡化假設檢驗的自動化: 張量公式不需要事先知道組數、迴歸變量數和假設數,就可以推斷出數據的結構組織。
- 更高的計算效率: 張量公式減少了計算量,特別是在模型中包含更多組、迴歸變量和假設時。
- 更簡潔優雅: 張量的秩與 GLM 中數據結構旨在交互的信息的自由度互補。
張量公式的應用
本文展示了張量公式在 GLM 中的一些常見應用,例如 GLM 對比矩陣和 GLM 多重 t 檢驗。結果表明,張量公式在這些應用中比傳統矩陣公式更簡潔、更高效。
總結
張量公式是 GLM 的一種更簡潔、更高效的表示方法。它解決了傳統矩陣公式的缺點,並為 GLM 的應用提供了新的可能性。
Статистика
在傳統公式中,具有 m 個迴歸變量、n 個組和每個組中 k 個數據點的模型將需要一個矩陣 X 作為一系列 k×n 個協變量向量,每個向量具有 n 個索引,僅編碼 1 和 0,它們被暗示為截距的係數,而 m×n 個索引編碼實驗自變量數據。
所討論的數據結構的最終大小為 kn²(m+1)。
在重新表述的公式中,相應的數據結構只需要 knm 個元素,從而將元素數量減少了 n(m+1)/m 倍。
Цитаты
"然而,傳統的矩陣公式在某些情況下相對來說不夠簡潔,導致計算效率降低,並增加了統計檢驗自動化的複雜性。"
"本文提出了一種使用張量和愛因斯坦表示法重新表述 GLM 的方法,以便描述重要參數和變量的數據結構是張量,用愛因斯坦表示法表示。"
"張量公式是 GLM 的一種更簡潔、更高效的表示方法。它解決了傳統矩陣公式的缺點,並為 GLM 的應用提供了新的可能性。"