Основные понятия
本文提出了一种基于快速离散正弦变换的对称前置条件器,用于加速求解具有变系数的Riesz分数扩散方程的离散线性系统。理论分析表明,所提出的前置条件GMRES方法的收敛率与网格尺寸无关。
Аннотация
本文研究了Riesz空间分数扩散方程(RSFDE)的数值方法。作者首先提出了一种四阶准紧致差分格式来离散RSFDE。由于离散系统矩阵的非对称性和病态性,直接使用Krylov子空间方法求解会收敛缓慢。
为此,作者提出了一种基于快速离散正弦变换的对称前置条件器。理论分析表明,所提出的前置条件GMRES方法的收敛率与网格尺寸无关,即可以实现最优收敛。
具体来说,作者首先给出了RSFDE的多维离散格式,得到由块三对角矩阵和Toeplitz矩阵组成的离散系统矩阵。然后,作者定义了一种基于τ矩阵的对称前置条件器,并分析了前置条件GMRES方法的收敛性。结果表明,前置条件GMRES方法的收敛速度与网格尺寸无关。
最后,作者给出了数值实验,验证了所提出方法的有效性和优越性。
Статистика
当α1 = 1.30时,误差为9.44e-5,一侧前置条件的CPU时间为1.01秒,迭代次数为6.6次;两侧前置条件的CPU时间为1.41秒,迭代次数为7.0次。
当α1 = 1.50时,误差为1.27e-4,一侧前置条件的CPU时间为0.93秒,迭代次数为6.2次;两侧前置条件的CPU时间为1.33秒,迭代次数为6.4次。
当α1 = 1.90时,误差为2.34e-4,一侧前置条件的CPU时间为0.81秒,迭代次数为5.0次;两侧前置条件的CPU时间为1.21秒,迭代次数为5.3次。