Neue Klasse von Galois-selbstorthogonalen algebraischen Geometrie-Codes

Основные понятия

Es werden neue Klassen von Galois-selbstorthogonalen algebraischen Geometrie-Codes aus projektiven Linien, elliptischen Kurven, hyperelliptischen Kurven und Hermiteschen Kurven konstruiert.

Аннотация

Der Artikel befasst sich mit Galois-selbstorthogonalen (SO) algebraischen Geometrie-Codes (AG-Codes). Zunächst wird ein Kriterium präsentiert, um zu bestimmen, ob ein AG-Code Galois-SO ist. Basierend darauf werden neue Klassen von maximalen abstandsseparablen (MDS) Galois-SO AG-Codes aus projektiven Linien, elliptischen Kurven, hyperelliptischen Kurven und Hermiteschen Kurven konstruiert. Außerdem wird eine Einbettungsmethode vorgestellt, mit der weitere MDS Galois-SO Codes aus bekannten MDS Galois-SO AG-Codes gewonnen werden können.

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Es gibt eine Reihe von Sätzen, die Bedingungen für die Konstruktion von MDS Galois-SO AG-Codes angeben:

Wenn q = ph ist, wobei p eine ungerade Primzahl und 2e | h ist, dann gibt es [n, k, n-k+1]q MDS e-Galois-SO AG-Codes mit n = (t+1)(q-1)/(pe+1)+1 und 1 ≤ k ≤ ⌊((t+1)(q-1)+pe(pe+1))/((pe+1)^2)⌋, wobei 1 ≤ t ≤ pe.
Wenn q = 2h, wobei h gerade ist, dann gibt es [2n, k-1, ≥2n-k+1]q Galois-SO AG-Codes mit 1 ≤ n ≤ |U1| oder 1 ≤ n ≤ |U2|, wobei U1 = {α ∈ E | TrFq/F2(α^3) = 0} und U2 = {α ∈ E | TrFq/F2(α + α^3) = 0} und E = {x^(2e+1) | x ∈ F^*_q}.
Wenn q = ph, wobei p eine ungerade Primzahl und 2e | h ist, dann gibt es [√qn, k-q+√q/2, ≥√qn-k+1]q Galois-SO AG-Codes mit verschiedenen Längen n.

Цитаты

"Es werden neue Klassen von Galois-selbstorthogonalen algebraischen Geometrie-Codes aus projektiven Linien, elliptischen Kurven, hyperelliptischen Kurven und Hermiteschen Kurven konstruiert."
"Außerdem wird eine Einbettungsmethode vorgestellt, mit der weitere MDS Galois-SO Codes aus bekannten MDS Galois-SO AG-Codes gewonnen werden können."

Ключевые выводы из

On Galois self-orthogonal algebraic geometry codes

by Yun Ding,Shi... в arxiv.org 04-01-2024

https://arxiv.org/pdf/2309.01051.pdf

Дополнительные вопросы

Wie lassen sich die konstruierten Galois-SO AG-Codes in praktischen Anwendungen wie Fehlerkorrektur oder Quantenkryptographie einsetzen

Die konstruierten Galois-SO AG-Codes können in praktischen Anwendungen wie Fehlerkorrektur und Quantenkryptographie eingesetzt werden.
In der Fehlerkorrektur können Galois-SO Codes aufgrund ihrer speziellen algebraischen Struktur dazu verwendet werden, um Fehler bei der Übertragung von Daten zu erkennen und zu korrigieren. Durch die Eigenschaften der Galois-SO Codes, insbesondere der selbstorthogonalen Struktur, können sie effizient zur Fehlerkorrektur in verschiedenen Kommunikationssystemen eingesetzt werden.
In der Quantenkryptographie können Galois-SO Codes zur Sicherung von Quanteninformationen verwendet werden. Durch ihre Fähigkeit, Fehler zu erkennen und zu korrigieren, tragen sie zur Zuverlässigkeit und Sicherheit von Quantenkommunikationssystemen bei. Die Verwendung von Galois-SO AG-Codes in der Quantenkryptographie kann dazu beitragen, die Integrität und Vertraulichkeit von übertragenen Quanteninformationen zu gewährleisten.

Welche Verallgemeinerungen oder Erweiterungen der Konstruktionsmethoden für Galois-SO AG-Codes sind möglich

Eine mögliche Verallgemeinerung oder Erweiterung der Konstruktionsmethoden für Galois-SO AG-Codes könnte darin bestehen, verschiedene Klassen von algebraischen Kurven oder Funktionenkörpern zu betrachten. Durch die Untersuchung von verschiedenen algebraischen Strukturen könnten neue Konstruktionsmethoden entwickelt werden, um eine breitere Palette von Galois-SO AG-Codes zu erzeugen.
Darüber hinaus könnten auch hybride Ansätze in Betracht gezogen werden, bei denen Galois-SO AG-Codes mit anderen Arten von Codes kombiniert werden, um Codes mit verbesserten Eigenschaften oder Leistungen zu erzeugen. Durch die Kombination von verschiedenen Codes könnten neue Möglichkeiten zur Konstruktion von effizienten und zuverlässigen Codes in verschiedenen Anwendungsgebieten erschlossen werden.

Welche Verbindungen bestehen zwischen Galois-SO AG-Codes und anderen mathematischen Gebieten wie Gruppentheorie, Gittertheorie oder modularen Formen

Galois-SO AG-Codes weisen starke Verbindungen zu verschiedenen mathematischen Gebieten auf, darunter Gruppentheorie, Gittertheorie und modulare Formen.

Gruppentheorie: Galois-SO Codes können durch ihre algebraischen Strukturen und Eigenschaften in der Gruppentheorie untersucht werden. Die Selbstorthogonalitätseigenschaft der Codes kann mit Gruppenoperationen in Verbindung gebracht werden, was zu tieferen Einsichten in die Struktur der Codes führen kann.

Gittertheorie: In der Gittertheorie können Galois-SO AG-Codes als spezielle Codes betrachtet werden, die auf algebraischen Kurven oder Funktionenkörpern definiert sind. Die Untersuchung der Codes im Zusammenhang mit Gittern kann zu neuen Erkenntnissen über deren Leistungsfähigkeit und Anwendbarkeit führen.

Modulare Formen: Modulare Formen sind wichtige Objekte in der Zahlentheorie und haben enge Verbindungen zur algebraischen Geometrie. Durch die Untersuchung von Galois-SO AG-Codes im Kontext modulare Formen können neue Zusammenhänge und Anwendungen in der mathematischen Forschung entdeckt werden.