Основные понятия
p-Laプラシアンに対する加法的シュワルツ法は理論的には亜線形収束を示すが、実際には線形収束することが数値的に観察されている。本論文では、この理論と実験の乖離を埋めるため、準ノルムを用いた新しい収束性解析を行い、加法的シュワルツ法の線形収束性を理論的に示した。
Аннотация
本論文は、p-Laプラシアン問題に対する加法的シュワルツ法の収束性解析を行っている。
まず、p-Laプラシアン問題の有限要素離散化と領域分割の設定を説明する。次に、2レベルの加法的シュワルツ法アルゴリズムを提案し、その収束性を解析する。
既存の理論解析では、加法的シュワルツ法の収束率は亜線形であることが示されていた。一方で、数値実験では線形収束が観察されていた。この理論と実験の乖離を埋めるため、本論文では以下の新しい手法を提案する:
- 準ノルムを用いた収束性解析を行う。準ノルムは、問題の凸エネルギー汎関数のブレグマン距離を適切に近似する。
- 準ノルムに対するポアンカレ-フリードリヒス不等式を導出し、2レベルの領域分割に対する準ノルム安定分解を示す。
- これらの鍵となる要素を活用して、加法的シュワルツ法の線形収束性を理論的に証明する。
数値実験により、提案手法の有効性が確認された。
Статистика
加法的シュワルツ法のエネルギー誤差は、反復回数に対して指数関数的に減少する
準ノルムと凸エネルギー汎関数のブレグマン距離は、定数倍の範囲で等価である
準ノルムに対するポアンカレ-フリードリヒス不等式が成り立つ
Цитаты
"既存の理論解析では、加法的シュワルツ法の収束率は亜線形であることが示されていた。一方で、数値実験では線形収束が観察されていた。"
"本論文では、準ノルムを用いた新しい収束性解析を行い、加法的シュワルツ法の線形収束性を理論的に示した。"
"準ノルムは、問題の凸エネルギー汎関数のブレグマン距離を適切に近似する。"