PosSLP and Sum of Squares: Exploring Decision Problems Associated with Straight-Line Programs

Основные понятия

Exploring the complexity of decision problems related to representing integers as sums of squares using straight-line programs.

Аннотация

この記事では、直線プログラムを使用して整数を二乗の和として表現する問題に関連する決定問題の複雑さを探求しました。PosSLPとその変種に焦点を当て、Div2SLPがDegSLPにどのように関連しているかを示しました。さらに、PosSLPの多項式バリアントが無条件でcoNP-hardであることを示しました。

Статистика

SLP C of size poly(pn,ℓ) which computes a polynomial PM(W)
Theorem 1.1 (Proposition 1.1 in [ABKPM09])
Theorem 1.2 (Proposition 1.2 in [ABKPM09])
Theorem 1.3 (Theorem 1.2 in [BJ23])
Theorem 2.1 ([Leg97, Gau01, Ank57, Mor58])
Theorem 3.1 ([Dud12, Section 18])
Conjecture 3.1 (Generalized Cram´er conjecture A, [Kou18])

Цитаты

"One can construct a SLP C of size poly(pn,ℓ) which computes a polynomial PM(W)"
"An integer n is not 2SoS if and only if the prime-power decomposition of n contains a prime of the form 4k +3 with an odd power."
"Given a straight-line program P of length s computing a polynomial f ∈ Z[x], we compute:"
"The Blum-Shub-Smale (BSS) computational model deals with computations using real numbers."
"Lagrange proved in 1770 that every natural number can be represented as a sum of four non-negative integer squares."

Ключевые выводы из

PosSLP and Sum of Squares

by Mark... в arxiv.org 03-04-2024

https://arxiv.org/pdf/2403.00115.pdf

Дополнительные вопросы

質問1

Div2SLPの正確な複雑さは何ですか？
Div2SLPは、DegSLPに困難性を持っていることが示されています。しかし、NP困難でもあるかどうかは明らかではありません。PosSLPとの関係についても考慮する必要があります。

質問2

Conjecture 3.1に依存せずにTheorem 1.5を証明できますか？
Conjecture 3.1から独立してTheorem 1.5を証明する方法は現在知られていません。この定理を別のアプローチで裏付けるために新しい戦略や手法が必要です。

質問3

Div2SLPはPosSLPとどのような関係がありますか？
Div2SLPは、PosSLPと密接に関連しており、特定条件下ではPosSLPへ多項式時間チューリング還元可能であることが示されています。両者の間に深い結びつきがあるため、その相互作用や影響を詳細に調査することが重要です。

質問4

PosSLPに対して無条件の厳格性結果を証明することは可能ですか？
現時点では、PosSLPに対する無条件の厳格性結果は知られていません。未解決な部分も多く残っており、この問題への新しいアプローチや技術革新が求められています。