Основные понятия
グラフのクリーク数と補グラフのランクが共に小さい「ランク-ラムゼイグラフ」の構築と非存在証明は、計算複雑性における有名な対数ランク予想と密接に関係しており、ラムゼ理論における新たな研究領域を開拓する可能性を秘めている。
Аннотация
本稿では、グラフのクリーク数と補グラフのランクが共に小さい「ランク-ラムゼイグラフ」について考察し、その構築と非存在証明が計算複雑性における有名な対数ランク予想と密接に関係していることを論じています。
ランク-ラムゼイグラフと対数ランク予想の関係
- ランク-ラムゼイグラフの構築は、対数ランク予想におけるギャップの証明に繋がる可能性があります。
- 逆に、特定の条件下では、対数ランク問題におけるギャップを示すことで、ランク-ラムゼイグラフの構築が可能になる可能性があります。
ランク-ラムゼイグラフの構築
本稿では、次数と補グラフのランクの間に多項式的な分離を示す、2つのランク-ラムゼイグラフ族の構成が提示されています。
構成1:クリークテンソルを用いた構成
- 特定の性質を持つ強正則グラフから派生した族のクロネッカー冪のマイナーを利用します。
- クリーク数が一定のグラフに対して、次数と補グラフのランクの間に多項式的な分離を実現します。
構成2:Erdős-Rényiグラフの行列論的リフトを用いた構成
- Erdős-Rényiグラフと、よく知られたブール関数NAEを用いた行列論的リフトに基づいています。
- クリーク数が対数的なグラフを生成します。
下界と関連するグラフパラメータ
- 三角形のないランク-ラムゼイグラフの補グラフのランクに関する下界について考察しています。
- 既知のグラフパラメータとの関連性を示し、Alon [Alo94]とCodenotti、Pudlák、Resta [CPR00]による、三角形のないラムゼイグラフの2つの最もよく知られた明示的な構成を分析し、それらがランク-ラムゼイからは程遠いことを示しています。
Nisan-Wigderson構成の分析
- 対数ランク予想の多項式的な分離を初めて示したNisan-Wigderson構成[NW95]を、ランク-ラムゼイの観点から分析しています。
- この行列が大きな単色の主マイナーを持つことを示し、ランク-ラムゼイグラフとしては不十分であることを示唆しています。
結論
ランク-ラムゼイ問題は、計算複雑性における対数ランク予想とラムゼ理論の双方に深く関係しており、今後の研究の発展が期待される興味深い研究対象です。
Статистика
三角形のない強正則グラフは7つしか知られていない。
ランク2の単純連結グラフは完全二部グラフである。
ランク3のグラフは三角形のブローアップである。
ランク4と5の連結グラフは、それぞれ有限個のグラフのリストG4とG5のブローアップである。
Цитаты
"A graph is called Rank-Ramsey if both its clique number and the rank of its complement are small."
"Rank-Ramsey graphs are clearly Ramsey graphs, because α(G) ≤ rank(G) holds for every graph G."
"Constructions of Rank-Ramsey graphs as well as impossibility results are deeply connected to the log-rank conjecture."