Основные понятия
平面曲線から新しい空間曲線を生成する方法と、その空間曲線の焦曲線を平面曲線の微分幾何学的特性を用いて表現する方法を提案する。
Аннотация
この論文は、平面曲線から新しい空間曲線を生成する方法と、その空間曲線の焦曲線を平面曲線の微分幾何学的特性を用いて表現する方法を提案する研究論文である。
研究目的
- 平面曲線から、右一般化円柱とトーラスの交線上に存在する新しい空間曲線を生成する方法を提案する。
- 生成された空間曲線の焦曲線を、元の平面曲線の符号付き曲率とその導関数で表現する。
方法
- 平面曲線αを基にした右一般化円柱上に、αを任意のパラメータでパラメータ表示したものを基にした非平面空間曲線γを定義する。
- γのフレネ・セレ標構と焦曲率を、αの符号付き曲率とその導関数で表現する。
- γの焦曲線を平面に正射影したものをαの一般化焦曲線と定義し、そのパラメータ表示を求める。
主な結果
- 平面曲線αの符号付き曲率とその導関数を用いて、対応する円柱曲線γのフレネ・セレ標構(接ベクトルT、主法線ベクトルN、従法線ベクトルB)、曲率κ、捩率τを表現する公式を導出した。
- γの焦曲率c1、c2を、αの符号付き曲率とその導関数で表現する公式を導出した。
- αの一般化焦曲線βのパラメータ表示を、αの符号付き曲率とその導関数で表現する公式を導出した。
結論
本研究では、平面曲線から新しい空間曲線を生成し、その空間曲線の焦曲線を平面曲線の微分幾何学的特性を用いて表現する新しい方法を提案した。この方法は、エピサイクロイド、ハイポサイクロイド、トロイダルヘリックスの平面への正射影など、工学の実務で使用されるいくつかの閉平面曲線に対して実証された。さらに、閉平面曲線の種類に応じて、対応するトーラス上の空間曲線も閉じる条件を導出した。
意義
本研究は、コンピュータグラフィックスやエンジニアリング図面における幾何学的構成に新たな知見を提供するものである。特に、平面曲線から複雑な空間曲線を生成し、その特性を分析する上で有用なツールとなる。
限界と今後の研究
- 本研究では、閉じた平面曲線のみを扱っている。開いた平面曲線の場合への拡張は今後の課題である。
- 本研究で提案した方法は、右一般化円柱に限定されている。他の種類の曲面への一般化は今後の課題である。