Effiziente Rückwärtsreichweitenanalyse gestörter zeitkontinuierlicher linearer Systeme mittels Mengenpropagation

Основные понятия

Die Rückwärtsreichweitenanalyse berechnet die Menge der Zustände, die eine Zielregion unter dem Einfluss von Steuerung und Störungen erreichen. Je nach deren Zusammenspiel stellt die rückwärtige erreichbare Menge entweder alle Zustände dar, die in die Zielregion gesteuert werden können, oder alle Zustände, die die Zielregion nicht vermeiden können - die entsprechenden Lösungen können für die Reglersynthese bzw. Sicherheitsverifikation verwendet werden.

Аннотация

Der Artikel präsentiert Algorithmen zur Berechnung von inneren und äußeren Approximationen der zeit-punktuellen und zeit-intervallbasierten minimalen und maximalen rückwärts erreichbaren Mengen für lineare zeitinvariante Systeme.
Für die minimale Rückwärtsreichweite wird Folgendes berechnet:

Äußere Approximation der zeit-punktuellen minimalen rückwärts erreichbaren Menge: Diese enthält alle Zustände, die unabhängig von der Steuerung die Zielregion erreichen müssen.
Äußere Approximation der zeit-intervallbasierten minimalen rückwärts erreichbaren Menge: Diese enthält alle Zustände, von denen aus die Zielregion zu irgendeinem Zeitpunkt im Intervall erreicht werden muss.
Für die maximale Rückwärtsreichweite wird Folgendes berechnet:

Innere und äußere Approximation der zeit-punktuellen maximalen rückwärts erreichbaren Menge: Diese enthält alle Zustände, von denen aus die Zielregion trotz schlimmstmöglicher Störungen erreicht werden kann.
Innere Approximation der zeit-intervallbasierten maximalen rückwärts erreichbaren Menge: Diese enthält alle Zustände, von denen aus die Zielregion zu irgendeinem Zeitpunkt im Intervall trotz schlimmstmöglicher Störungen erreicht werden kann.
Die vorgestellten Algorithmen skalieren nur polynomial mit der Systemdimension, im Gegensatz zu etablierten Methoden, die exponentiell skalieren. Numerische Beispiele zeigen eine deutliche Verbesserung der Skalierbarkeit.

Статистика

Die Berechnung der rückwärts erreichbaren Mengen skaliert nur polynomial mit der Systemdimension n, im Gegensatz zu etablierten Methoden, die exponentiell skalieren.

Цитаты

"Crucially, all proposed algorithms scale only polynomially with respect to the state dimension."
"Our numerical examples demonstrate the tightness of the obtained backward reachable sets and show an overwhelming improvement of our proposed algorithms over state-of-the-art methods regarding scalability, as systems with well over a hundred states can now be analyzed."

Ключевые выводы из

Backward Reachability Analysis of Perturbed Continuous-Time Linear Systems Using Set Propagation

by Mark Wetzlin... в arxiv.org 04-08-2024

https://arxiv.org/pdf/2310.19083.pdf

Дополнительные вопросы

Wie könnte man die vorgestellten Algorithmen auf nichtlineare Systeme erweitern

Um die vorgestellten Algorithmen auf nichtlineare Systeme zu erweitern, könnte man Techniken wie die Taylor-Approximation oder die Verwendung von nichtlinearen Set-Repräsentationen wie Zonotopen oder Taylor-Modellen in Betracht ziehen. Durch die Verwendung von nichtlinearen Modellen und Repräsentationen könnte man die Komplexität der Berechnungen erhöhen, aber gleichzeitig eine genauere Darstellung des Systems ermöglichen. Darüber hinaus könnten iterative Verfahren wie die Newton-Raphson-Methode oder Optimierungsalgorithmen wie die Methode der kleinsten Quadrate verwendet werden, um nichtlineare Effekte zu berücksichtigen und die Genauigkeit der Ergebnisse zu verbessern.

Welche zusätzlichen Informationen könnten die berechneten rückwärts erreichbaren Mengen für die Reglersynthese liefern

Die berechneten rückwärts erreichbaren Mengen könnten wichtige Informationen für die Reglersynthese liefern. Zum einen könnten sie dabei helfen, sicherzustellen, dass ein Regler so entworfen wird, dass er das System in einem sicheren Bereich hält und potenziell gefährliche Zustände vermeidet. Darüber hinaus könnten die minimalen und maximalen rückwärts erreichbaren Mengen als Grundlage für die Entwicklung von Sicherheitsstrategien dienen, um das System vor unerwünschten Ereignissen zu schützen. Durch die Analyse dieser Mengen können Regler entworfen werden, die das System effizient und sicher steuern.

Inwiefern lassen sich die Konzepte der minimalen und maximalen Rückwärtsreichweite auf andere Anwendungsgebiete übertragen

Die Konzepte der minimalen und maximalen Rückwärtsreichweite können auf verschiedene Anwendungsgebiete übertragen werden, insbesondere in sicherheitskritischen Systemen. Beispielsweise könnten sie in der Robotik eingesetzt werden, um sicherzustellen, dass Roboterarme oder autonome Fahrzeuge Hindernissen ausweichen und sicher navigieren können. In der Luft- und Raumfahrt könnten sie verwendet werden, um sicherzustellen, dass Flugzeuge oder Satelliten sicher gesteuert werden und potenzielle Kollisionen vermieden werden. Darüber hinaus könnten sie in der Medizintechnik eingesetzt werden, um sicherzustellen, dass medizinische Geräte oder Implantate sicher und effektiv funktionieren.