厳密な漸近ランク予想のための汎用的なテンソル列

Centrala begrepp

テンソルの指数を特徴付ける明示的で汎用的なテンソル列を構築した。これにより、Strassen の漸近ランク予想に対する決定的なアプローチが可能となる。

Sammanfattning

本論文では、テンソルの指数を特徴付ける明示的で汎用的なテンソル列を構築した。

まず、テンソルのクロネッカー累乗に関する基底を定義した。この基底は、テンソルのクロネッカー累乗の線形空間を完全に特徴付ける。この基底の性質を詳細に分析し、以下の結果を得た:

1. 固定された次元dに対して、この基底から構成される明示的なテンソル列Udが、次元dのテンソル空間の最悪の指数を正確に捉えている。

2. 次元dを増やしていくことで、この基底から構成される対角線上のテンソル列Dが、全てのテンソルの最悪の指数を捉えている。これは、Strassen の漸近ランク予想に対する決定的なアプローチを与える。

3. 低次数の多項式が消滅するという条件から、テンソルの漸近ランクに対する上界を導出した。これにより、特定のテンソルの漸近ランクの上界が分かれば、全てのテンソルの漸近ランクの上界が得られる。

以上の結果は、テンソルの指数と漸近ランクの理解を大きく進展させるものである。特に、Strassen の漸近ランク予想の解決に向けた重要な一歩となっている。

Statistik

任意のテンソルTに対して、R(T⊠p) ≤ dσ(T)p+o(p)が成り立つ。
任意のテンソルTに対して、σ(T) ≤ supg σ(T(g))が成り立つ。
任意の定数C > 0に対して、d ≫ 0のとき、T(g) ∈ (Fd)⊗3の中に階数(あるいは境界ランク、漸近ランク)がCdを超えるものが無限に存在する。

Citat

"テンソルの指数は、アルゴリズムと計算量理論の観点から基本的なものである。例えば、2 × 2行列乗算の指数ωは、ω = 2σ(MM2)で特徴付けられる。ここで、MM2は2 × 2行列乗算を表すテンソルである。"
"Strassen の漸近ランク予想が真ならば、ω = 2が直ちに導かれ、さらにSet Cover予想に対する反例が得られる。"

Viktiga insikter från

A universal sequence of tensors for the asymptotic rank conjecture

by Pett... på arxiv.org 04-10-2024

https://arxiv.org/pdf/2404.06427.pdf

Djupare frågor

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