元徵群上转移映射與 Aubert-Zelevinski 對合的交換性

Centrala begrepp

本文證明了元徵群的內窺轉移與Aubert-Zelevinski對合的相容性，推廣了Hiraga在線性群上的結果。

Sammanfattning

標題： 元徵群上轉移映射與 Aubert-Zelevinski 對合的交換性
作者： 陳 Fei
發表平台： arXiv:2410.02481v1 [math.RT] 3 Oct 2024

本研究旨在證明元徵群的內窺轉移與 Aubert-Zelevinski 對合的相容性。

Viktiga insikter från

Commutation of transfer and Aubert-Zelevinski involution for metaplectic groups

by Fei Chen på arxiv.org 10-04-2024

https://arxiv.org/pdf/2410.02481.pdf

Djupare frågor

此結果如何應用於元徵群的 Langlands 綱領？

此結果對於理解元徵群表示的 Langlands 綱領至關重要。具體來說，它在以下幾個方面有重要應用：

Arthur 分類： Arthur 分類旨在通過內視對偶將約化群的不可約表示與 Arthur 參數聯繫起來。Aubert-Zelevinski 對合在 Arthur 分類中扮演著重要角色，它將 tempered 表示與非 tempered 表示聯繫起來。此結果表明，內視傳遞與 Aubert-Zelevinski 對合相容，這意味著我們可以通過研究 tempered 表示的內視傳遞來理解非 tempered 表示的內視傳遞。
L-packets 的結構： Langlands 綱領預測，一個約化群的不可約表示應該被劃分為 L-packets。此結果表明，一個 L-packet 中的表示在 Aubert-Zelevinski 對合下的像仍然屬於同一個 L-packet。這為我們理解 L-packets 的結構提供了重要信息。
跡公式： 跡公式是研究自守表示的重要工具。內視傳遞是穩定跡公式的關鍵要素。此結果表明，我們可以利用 Aubert-Zelevinski 對合來簡化元徵群跡公式的計算。
總之，此結果將內視傳遞與 Aubert-Zelevinski 對合聯繫起來，為我們研究元徵群的 Langlands 綱領提供了強大的工具。

是否存在與 Aubert-Zelevinski 對合不相容的其它對合算子或群作用？

是的，存在與 Aubert-Zelevinski 對合不相容的其它對合算子或群作用。 以下是一些例子：

Zelevinski 對合： Zelevinski 對合作用於 GL(n) 的表示範疇，它與 Aubert-Zelevinski 對合密切相關，但不盡相同。對於一般的約化群，Zelevinski 對合並未定義。
外自同構： 一些約化群具有非平凡的外自同構群，這些外自同構可以誘導出表示範疇上的對合算子。這些對合算子通常與 Aubert-Zelevinski 對合不相容。
Fourier-Jacobi 變換： 對於某些特定类型的約化群，例如辛群，Fourier-Jacobi 變換可以誘導出表示範疇上的對合算子。這些對合算子通常與 Aubert-Zelevinski 對合不相容。
需要注意的是，這些對合算子或群作用在表示論中也扮演著重要角色，儘管它們與 Aubert-Zelevinski 對合不相容。

如果將元徵群替換為更一般的覆蓋群，這個結論是否仍然成立？

將元徵群替換為更一般的覆蓋群時，這個結論不一定成立。 主要原因如下：

內視傳遞的定義： 對於一般的覆蓋群，內視傳遞的定義更加複雜，並且不一定總是存在。
Aubert-Zelevinski 對合的推廣： Aubert-Zelevinski 對合的定義依賴於 Levi 子群的結構，而對於一般的覆蓋群，Levi 子群的結構可能更加複雜。
扭曲內視對偶： 對於某些覆蓋群，例如非分裂的特殊正交群，需要使用扭曲內視對偶理論。在這種情況下，Aubert-Zelevinski 對合的相容性問題更加微妙。
然而，對於某些特定类型的覆蓋群，例如雙重覆蓋群，可以證明內視傳遞與 Aubert-Zelevinski 對合（或其適當的推廣）相容。 這需要更精細的分析和技術。