Centrala begrepp
본 논문에서는 반복 측정을 기반으로 하는 양자 알고리즘을 사용하여 플라즈마 물리학의 편미분 방정식에서 생성될 수 있는 비선형 상미분 방정식(ODE)의 초기값 문제를 해결하는 방법을 제시합니다.
Sammanfattning
비선형 동적 시스템의 양자 시뮬레이션: 반복 측정 활용
본 연구 논문에서는 플라즈마 물리학에서 나타나는 편미분 방정식에서 생성될 수 있는 비선형 상미분 방정식(ODE)의 초기값 문제를 해결하기 위한 새로운 양자 알고리즘을 제시합니다. 본 알고리즘은 기존의 해밀턴 시뮬레이션 방법을 일반화하여 비선형 시스템에 적용 가능하도록 하였습니다.
연구 배경
양자 컴퓨터의 발전과 더불어 오류 수정 양자 컴퓨터가 수행할 수 있는 다양한 작업에 대한 관심이 높아지고 있습니다. 특히, ˙x = G(x) 형태의 일반적인 동적 시스템을 효율적으로 해결하는 양자 알고리즘의 존재 여부는 많은 연구자들의 주목을 받고 있습니다. 기존의 변분 방법, Carleman 선형화, 호모토피 섭동 방법 등 다양한 접근 방식이 제시되었지만, 시스템 크기에 대한 큰 양자 속도 향상을 달성하면서도 시뮬레이션 시간에 대한 복잡성이 기하급수적으로 증가하지 않는 일반적인 효율성을 달성한 방법은 아직까지 없습니다.
연구 목표
본 연구에서는 기존의 해밀턴 시뮬레이션 방법을 일반화하여 비선형 ODE 시스템에 적용 가능한 새로운 양자 알고리즘을 개발하고, 이를 통해 플라즈마 물리학 문제 해결에 기여하는 것을 목표로 합니다.
1. 반복 측정을 통한 단계별 선형화
본 연구에서는 먼저 동적 시스템을 다단계 양자 시스템의 진폭을 사용하여 벡터 x의 요소를 인코딩합니다. 이를 통해 2N개의 실수 스칼라 동적 변수를 N개의 큐비트에 저장할 수 있습니다. 시간 진행은 고전적인 순방향 오일러 방법과 유사하게 수행됩니다. 각 시간 단계마다 양자 상태는 일정한 해밀턴을 사용하여 Schrödinger 방정식을 통해 진화됩니다. 이때, 해밀턴은 이전 시간 단계에서 측정된 양자 상태의 함수로 표현됩니다. 즉, 각 시간 단계마다 측정을 통해 시스템을 선형화하고, 이를 기반으로 해밀턴을 업데이트하여 다음 시간 단계로 진행합니다.
2. 비선형 시스템의 해밀턴 형태 변환
비선형 동적 시스템을 양자 시뮬레이션에 적용하기 위해서는 해당 시스템을 해밀턴 형태로 변환해야 합니다. 가장 간단한 비선형 예시는 3차 시스템으로, 해밀턴은 여러 하위 해밀턴의 합으로 표현될 수 있습니다. 각 하위 해밀턴은 해당하는 관측 가능량의 기대값으로 가중치가 부여됩니다. 이때, 관측 가능량은 양자 상태에 대해 2차 함수이므로 Schrödinger 방정식은 3차 비선형성을 갖게 됩니다.
3. 일반적인 다항식 비선형성으로의 일반화
본 연구에서는 3차 해밀턴 형태의 시스템뿐만 아니라, 다항식 비선형성을 갖는 모든 실수 시스템을 3차 해밀턴 형태로 변환하는 방법을 제시합니다. 이를 위해 먼저 다항식 시스템을 텐서 형태로 표현하고, 상수 좌표를 추가하여 동차화합니다. 그런 다음, 정규화된 해를 찾고 시간을 비선형적으로 매핑하여 시스템을 정규화합니다. 마지막으로, 텐서를 비대칭 형태로 변환하고 차수 축소 기술을 적용하여 3차 시스템으로 변환합니다.