Strukturelle Nicht-Kommutativität in der affinen Rückkopplung von SISO-nichtlinearen Systemen

Centrala begrepp

Die affine Rückkopplung von SISO-nichtlinearen Systemen, die durch Chen-Fliess-Reihen modelliert werden, ist eine Gruppenoperation auf der Anlage, die isomorph zum semidirekten Produkt der Shuffle- und additiven Gruppe der nichtkommutativen formalen Potenzreihen ist. Die additiven und multiplikativen Rückkopplungsschleifen in einer affinen Rückkopplung sind somit strukturell nicht-kommutativ.

Sammanfattning

Der Artikel untersucht die strukturelle Nicht-Kommutativität zwischen den additiven und multiplikativen Rückkopplungsschleifen in einer affinen Rückkopplung von SISO-nichtlinearen Systemen, die durch Chen-Fliess-Reihen modelliert werden.
Zunächst wird eine Einführung in die Theorie der nichtkommutativen formalen Potenzreihen und Chen-Fliess-Reihen gegeben. Dann wird die affine Rückkopplung als Gruppenoperation auf der Anlage definiert, wobei zwei Gruppenstrukturen auf der Menge G der zweidimensionalen Vektoren formaler Potenzreihen eingeführt werden: die Gruppe (G, ⊙) und die affine Rückkopplung-Gruppe (G, ⋆).
Es wird gezeigt, dass die additive und die multiplikative Rückkopplungsschleife in der affinen Rückkopplung strukturell nicht-kommutativ sind. Dies wird durch den Kommutator der Untergruppen, die den additiven und multiplikativen Rückkopplungsschleifen entsprechen, quantifiziert. Konkret wird bewiesen, dass der Kommutator [M, G+]⊙ eine normale Untergruppe von G+ ist, wobei M die Shuffle-Gruppe und G+ die additive Gruppe der formalen Potenzreihen sind.
Schließlich wird die Lie-Algebra-Struktur der formalen Lie-Gruppe (G, ⊙) untersucht, die mit der affinen Rückkopplung in Verbindung steht. Es wird gezeigt, dass die Lie-Algebra g die direkte Summe der Abelsche Lie-Algebren g⊔⊔ und g+ ist, wobei der Lie-Klammer-Operator [·, ·] die strukturelle Nicht-Kommutativität zwischen den additiven und multiplikativen Rückkopplungsschleifen widerspiegelt.

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Citat

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Viktiga insikter från

On Structural Non-commutativity in Affine Feedback of SISO Nonlinear Systems

by Venkatesh G.... på arxiv.org 03-27-2024

https://arxiv.org/pdf/2403.17730.pdf

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