Regularisierte Methode zur Approximation von verrauschten stetigen periodischen Funktionen auf dem Einheitskreis

Centrala begrepp

Eine regularisierte Methode der kleinsten Quadrate wird verwendet, um eine trigonometrische Polynomapproximation von stetigen periodischen Funktionen aus verrauschten Werten an äquidistanten Punkten des Einheitskreises zu konstruieren. Verschiedene Strategien zur Wahl des Regularisierungsparameters werden analysiert und verglichen.

Sammanfattning

Der Artikel befasst sich mit der Approximation stetiger periodischer Funktionen durch trigonometrische Polynome aus verrauschten Werten an äquidistanten Punkten des Einheitskreises. Dafür wird eine regularisierte Methode der kleinsten Quadrate verwendet.

Zunächst wird gezeigt, dass die Lösung des regularisierten Problems in expliziter Form angegeben werden kann, da die Trapezregel für die Berechnung der Fourier-Koeffizienten exakt ist. Dann wird eine konkrete Fehlerschranke basierend auf der Abschätzung der Lebesgue-Konstante hergeleitet.

Es werden drei Strategien zur Wahl des Regularisierungsparameters untersucht: das Morozov'sche Diskrepanzprinzip, die L-Kurve und die verallgemeinerte Kreuzvalidierung. Numerische Beispiele zeigen, dass eine geeignete Wahl des Parameters die Approximationsqualität deutlich verbessern kann.

Statistik

Die Trapezregel ist für die Integration periodischer Funktionen exponentiell genau.
Der Konditionszahl des linearen Systems ist monoton fallend in Bezug auf den Regularisierungsparameter.
Der Regularisierungsoperator kann als Potenzen des negativen Laplace-Operators auf dem Einheitskreis dargestellt werden.

Citat

"Die konstruierte trigonometrische Polynomapproximation kann aufgrund der Exaktheit der Trapezregel in expliziter Form bestimmt werden."
"Insbesondere analysieren wir drei Strategien zur Wahl des Regularisierungsparameters: Morozovs Diskrepanzprinzip, L-Kurve und verallgemeinerte Kreuzvalidierung."

Viktiga insikter från

Parameter choice strategies for regularized least squares approximation of noisy continuous functions on the unit circle

by Congpei An,M... på arxiv.org 04-01-2024

https://arxiv.org/pdf/2403.19927.pdf

Djupare frågor

Wie lassen sich die Ergebnisse auf andere Gebiete der Approximationstheorie übertragen, z.B. auf die Approximation auf Sphären höherer Dimension?

Die Ergebnisse dieser Studie, insbesondere die Wahl der Regularisierungsparameter für trigonometrische Polynome auf dem Einheitskreis, können auf andere Bereiche der Approximationstheorie übertragen werden, einschließlich der Approximation auf Sphären höherer Dimension. In höheren Dimensionen, wie auf der Sphäre S2, können ähnliche Regularisierungstechniken und Parameterwahlstrategien angewendet werden, um die Approximationsqualität zu verbessern. Die Verwendung von Regularisierungsoperatoren, die nicht durch den Laplace-Operator definiert sind, kann ebenfalls auf Sphären höherer Dimension angewendet werden, um die Approximation von Funktionen zu optimieren.

Welche Auswirkungen haben andere Regularisierungsoperatoren, die nicht durch den Laplace-Operator definiert sind, auf die Approximationsqualität?

Die Verwendung anderer Regularisierungsoperatoren, die nicht durch den Laplace-Operator definiert sind, kann unterschiedliche Auswirkungen auf die Approximationsqualität haben. Diese Operatoren können die Regularisierung in verschiedenen Aspekten beeinflussen, wie z.B. die Glättungseigenschaften der Approximation, die Stabilität der Lösung und die Genauigkeit der Ergebnisse. Durch die Anpassung der Regularisierungsoperatoren an die spezifischen Anforderungen des Problems können bessere Approximationsergebnisse erzielt werden.

Wie können die Erkenntnisse zur Wahl des Regularisierungsparameters für die Approximation von Funktionen auf anderen Gebieten, wie z.B. auf Intervallen, genutzt werden?

Die Erkenntnisse zur Wahl des Regularisierungsparameters für die Approximation von Funktionen auf dem Einheitskreis können auf andere Gebiete, wie die Approximation auf Intervallen, übertragen werden. Durch die Anpassung der Parameterwahlstrategien an die spezifischen Anforderungen des jeweiligen Problems können optimale Regularisierungsparameter gefunden werden, um eine hochwertige Approximation zu erreichen. Die Methoden zur Bestimmung des Regularisierungsparameters, wie z.B. Morozov's Diskrepanzprinzip, können auf verschiedene Approximationsprobleme angewendet werden, um die Genauigkeit und Stabilität der Ergebnisse zu verbessern.