局部有界有理函數的幾何學

แนวคิดหลัก

本文探討了非奇異實代數簇上的局部有界有理函數的幾何性質，建立了這些函數與半代數弧、奇點解消和洛亞iewicz 不等式之間的關係。

บทคัดย่อ

本文探討了非奇異實代數簇上的局部有界有理函數的幾何性質。首先，建立了關於這些函數的各種基本幾何和代數結果，並推導出洛亞iewicz 不等式的一個版本。接著，針對二維情況，進一步發展了這些函數的幾何學，證明了這些函數的代數和幾何之間存在許多通常的對應關係，這些對應關係與複代數幾何以及實代數幾何中的其他函數類別（如規則函數）所期望的相符。

本文發展了實代數簇上局部有界有理函數的幾何學。如果 R 是一個實封閉域，而 X ⊆ Rn 是一個不可約的非奇異代數簇，則定義在 X 的 Zariski 稠密子集上的有理函數 f 如果在 X 的每個點的某個開鄰域中其值都有界，則稱其為局部有界。這些函數已經在文獻中以實全純環的形式被研究過（參見 [1, 3, 8, 10, 15, 16, 14]），儘管是從完全代數的角度進行的。局部有界有理函數也出現在 [12] 中的弧亞純函數的解析背景下。
局部有界有理函數在幾何背景下自然出現。例如，給定奇異實代數簇的正規化上的正則函數是局部有界的。在複數情況下，正規簇上的此類函數自動是正則的（根據 Hartogs 延拓定理 [13, C 1.11]），然而，在處理實代數簇時，此類函數要多得多，一個典型的例子是 R2 上的函數 (x, y) 7→ x2/(x2+y2)。如果將局部有界條件替換為連續性，則得到連續有理函數類，如果其定義域是非奇異代數簇，則稱為規則函數（參見 [7, 9]）。本文旨在研究非奇異實代數簇上的局部有界有理函數環，同時強調它們與規則函數的異同。重要的是要注意，研究局部有界有理函數在奇異實代數簇上的行為仍然是未來工作的課題，並且不在本文的討論範圍之內。
局部有界有理函數可以用三種等效的方式來刻畫（命題 3.5、3.7 和 3.8）：(1) 將 X 中的每條半代數連續弧映射到 R 中的有界集的有理函數；(2) 經過一系列以 X 上的光滑中心進行爆破後，可以使其成為取值於 R 的正則函數的有理函數；(3) 將 X 的每個閉有界子集与其定義域的交集映射到 R 的有界子集的有理函數。事實上，利用 Hironaka [6] 的結果，有界有理函數環與經過一系列以光滑中心進行爆破後可以使其成為取值於 R 的正則函數的有理函數環完全相同。此外，不可約非奇異代數簇 X 上的局部有界有理函數環是非諾特環（命題 3.20），其 Krull 維數等於底層簇的維數（定理 3.24）。最後一個結果是對該環的 Krull 維數先前估計的改進，[1] 中僅僅證明了它小於或等於底層簇的維數。
作為有界性的結果，不可約光滑代數簇 X 上的局部有界有理函數的不確定軌跡的餘維數至少為 2（定理 3.13）。這與例如 [4] 中研究的規則函數類似。然而，與這些函數的情況不同，為了定義有界有理函數的零點集，必須藉助於弧的極限或通過一系列爆破對其正則化的圖像。這導致由這些集合定義的非諾特拓撲（參見例 4.17），它比與有理連續函數相關聯的拓撲更精細（參見例 4.9 和 4.10）。然而，差異並不止於此。為了定義局部有界有理函數集合的零點集，有必要將這些函數視為半代數連續弧的弧空間上的函數。這些函數與規則函數的另一個重要共同點是存在洛亞iewicz 型不等式（定理 4.24、4.26 和 5.2）。
在維數大於或等於 3 的情況下，X 的給定子集上為零的局部有界有理函數集可能不是理想。然而，在二維情況下，作為局部有界有理函數的不確定軌跡的餘維數至少為 2（因此僅由孤立點組成）的直接結果，可以構造出人們期望從其他函數類別（例如規則函數）中得到的通常的代數幾何詞典，並恢復諸如零點定理之類的結果（定理 5.12）。

ข้อมูลเชิงลึกที่สำคัญจาก

The Geometry of Locally Bounded Rational Functions

by Victor Delag... ที่ arxiv.org 10-15-2024

https://arxiv.org/pdf/2409.04232.pdf

สอบถามเพิ่มเติม

將局部有界有理函數的概念推廣到奇異實代數簇上？

將局部有界有理函數的概念推廣到奇異實代數簇上是一個自然的拓展方向，但也面臨著一些挑戰。
挑戰：

奇點附近的行為： 局部有界有理函數在奇點附近的行為可能更加複雜，難以控制。例如，考慮曲線 $y^2 = x^2(x+1)$ 上的有理函數 $f(x,y) = y/x$。 雖然 $f$ 在原點以外的點都是局部有界的，但在原點卻沒有定義，並且無法通過連續延拓定義。
分解定理的失效： 在非奇異簇上，我們可以利用分解定理將局部有界有理函數的零點集表示為一些光滑子簇的像。但在奇異簇上，分解定理不一定成立，這使得零點集的幾何結構更加複雜。
可能的解決方案：

限制奇點的類型： 可以先考慮一些特殊類型的奇點，例如孤立奇點或正规奇點，這些奇點的局部結構相對簡單，可能更容易推廣局部有界有理函數的理論。
使用弧空間： 弧空間可以有效地描述奇異簇的局部幾何信息。可以嘗試利用弧空間來定義奇異簇上的局部有界有理函數，並研究其性質。
尋找新的幾何工具： 可能需要發展新的幾何工具來處理奇異簇上局部有界有理函數的複雜行為。
總之，將局部有界有理函數的概念推廣到奇異實代數簇上是一個富有挑戰但也很有意義的研究方向，需要進一步探索和研究。

是否存在其他類型的實代數簇，其上的局部有界有理函數也具有良好的幾何性質？

除了非奇異實代數簇，以下幾種類型的實代數簇上的局部有界有理函數也可能具有良好的幾何性質：

正规簇: 正规簇上的局部有界有理函數的零點集的餘維數至少為 2，這與非奇異簇上的情況類似。此外，正规簇上的許多幾何性質都與非奇異簇相似，因此局部有界有理函數在正规簇上也可能表現出良好的行為。
具有良好奇點的簇: 例如，可以考慮奇點都是孤立奇點或正规奇點的簇。這些簇上的局部有界有理函數的行為可能更容易控制，並且可能具有一些與非奇異簇相似的幾何性質。
低維簇: 低維簇（例如曲線和曲面）的幾何結構相對簡單，這可能使得局部有界有理函數在這些簇上也具有良好的幾何性質。例如，在曲線上，局部有界有理函數就是正则函数。
需要注意的是，對於上述幾種類型的簇，局部有界有理函數的幾何性質還需要進一步研究和驗證。

局部有界有理函數的理論如何應用於其他數學領域，例如動力系統或優化？

局部有界有理函數的理論在其他數學領域，例如動力系統或優化，具有潛在的應用價值。以下是一些可能的應用方向：
動力系統:

研究奇異攝動問題: 局部有界有理函數可以用来描述某些奇異攝動問題中的解的行為。例如，考慮微分方程 $\epsilon x' = f(x)$，其中 $\epsilon$ 是一個小參數，而 $f(x)$ 是一個局部有界有理函數。當 $\epsilon$ 趨近於零時，方程的解可能會表現出奇異的行為，例如快速振盪或边界层现象。局部有界有理函數的理論可以幫助我們理解和分析這些奇異現象。
構造不變流形: 在動力系統中，不變流形是描述系統長期行為的重要工具。局部有界有理函數可以用來構造某些動力系統的不變流形，特別是當系統具有奇異性時。
優化:

處理非光滑優化問題: 許多實際優化問題都涉及到非光滑函數，例如分段線性函數或帶有約束的函數。局部有界有理函數可以作為一類特殊的非光滑函數，其理論可以應用於分析和解決這些非光滑優化問題。
發展新的優化算法: 局部有界有理函數的特殊性質，例如其零點集的結構，可以被利用來發展新的優化算法，特別是針對具有奇異性或非光滑性的問題。
總之，局部有界有理函數的理論為研究奇異性問題提供了一個新的視角，並在動力系統和優化等領域具有潛在的應用價值。