本稿は、フォン・ノイマンのミニマックス定理と線形計画問題の双対定理の等価性に関する新たな知見を提供する研究論文である。この等価性はゲーム理論と最適化という2つの分野の基礎的な問題を結びつけるものであり、70年以上にわたって精査されてきた。しかし、本稿では、この等価性の困難な方向、つまり線形計画問題をゼロサムゲームに還元する方向の証明が、ゼロサムゲームの定義から自然に導かれるように、2人のプレイヤーに異なる役割を割り当てていないという点で、不十分であることが指摘されている。
この問題に対する部分的な解決策は、フォン・ノイマン自身が1953年に発表した別の論文において示されている。この論文では、割当問題をゼロサムゲームに還元する手法が示されている。しかし、この手法で扱える線形計画問題は、目的関数ベクトルのすべての成分が正であり、制約行列と右辺ベクトルのすべての成分が1であるという、非常に特殊なものである。
本稿では、フォン・ノイマンの結果を2つの方向に一般化し、それぞれ線形計画問題の特定の部分に負の成分を許すようにしている。本稿の還元では、還元されたゲームの2人のプレイヤーの役割、すなわち、それぞれのマックスミン戦略が主双対線形計画問題の最適解をプレイすることであることを明確にしている。さらに、従来の還元とは異なり、還元されたゲームの値は、元の線形計画問題の値を明らかにする。本稿の一般化は、割当問題以外にも、いくつかの基本的な経済シナリオを包含している。
本稿では、フォン・ノイマンが計算量の概念を理解していたことを示す証拠についても考察している。
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by Ilan Adler, ... ที่ arxiv.org 10-15-2024
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