本稿は、グラフGと固定グラフHの間の2つのグラフ準同型αとβが与えられたとき、各ステップで1つの頂点のイメージのみを変更し、グラフ準同型を維持しながらαをβに変換できるかどうかを問うH-Recoloring問題(Recol(H))の計算複雑性を解明することを目的とする。特に、反射グラフHにおけるRecol(H)の多項式時間アルゴリズムを提供することを目指す。
本稿では、反射グラフHに対するRecol(H)を、ある二部グラフK(H)に対するRecol(K(H))に還元する簡易還元を導入する。この還元は、グラフGからHへの準同型と、Gの頂点-辺接続グラフからHの頂点-クリーク接続グラフK(H)への準同型の間に自然な対応関係が存在することを示すことに基づいている。さらに、この構成が再構成の場合にも当てはまることを示す。
本稿で提案された還元は、反射グラフに対するH-Recoloring問題に対する既存のアルゴリズム結果を一般化するものである。この還元により、正方形を含まない反射グラフに対するRecol(H)が多項式時間で解けることが示された。これは、正方形を含まない非反射グラフに対する既存のアルゴリズム結果を拡張するものである。
本稿の結果は、反射グラフに対するH-Recoloring問題の複雑さに関する理解を深めるものである。特に、正方形を含まない反射グラフに対する多項式時間アルゴリズムは、この問題に対するアルゴリズムの進歩に貢献するものである。
本稿で提案された還元は、反射グラフに限定されている。非反射グラフに対する同様の還元を見つけることは、今後の課題である。また、本稿の結果を、より一般的な構造に対する再構成問題に拡張することも興味深い。
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