แนวคิดหลัก
グラフ評価におけるアイテムに対するエージェントの評価が二値の場合、非羨望配分 (EF) と効率性を両立させることが可能だが、評価が {0, 1, d} のようにわずかに複雑になると、効率性を犠牲にしないとEFを達成することが難しくなる。
本論文は、エージェントがアイテムの部分集合を評価する設定における、非羨望配分を見つける問題の計算複雑性について考察しています。特に、各アイテムが正確に2人のエージェントによって評価される「グラフィカル評価」に焦点を当てています。
導入
論文は、エージェントとアイテムの集合が与えられた場合に、各エージェントが自分の割り当てられたアイテムのセットを他のどのエージェントのセットよりも少なくとも同じくらい高く評価するような方法でアイテムを分割する問題である、公平な分割問題の背景を紹介します。この文脈におけるゴールドスタンダードは、どのエージェントも他のエージェントを羨ましがらない非羨望配分 (EF) です。しかし、このような配分は常に存在するとは限らず、存在するかどうかを判断することは計算上困難な場合があります。
グラフィカル評価におけるEF配分
論文では、各アイテムが正確に2人のエージェントによって評価される、グラフィカル評価と呼ばれる構造化された評価のクラスについて考察しています。この構造は、エージェントを頂点、アイテムをエッジとするグラフとして表すことができます。2つのエージェント頂点は、それらの間に共通のアイテムエッジがある場合にのみ隣接します。
論文ではまず、グラフィカル評価に対してEF配分が存在する場合、EF配分に対応するグラフの方向付けが存在することを示しています。言い換えれば、各エッジをそのいずれかの端点に割り当てることでEF配分を達成できる場合にのみ、EF配分が存在します。
次に、エージェントがアイテムに対して{0, 1}の二値評価を持つ場合、EF配分の存在を多項式時間で決定できることが示されています。これは、二値評価を持つ一般的な評価関数に対してEF配分を見つけることがNP困難であるという事実とは対照的です。
{0, 1, d} グラフィカル評価におけるEF配分の困難性
論文では、二値評価から{0, 1, d}評価(アイテムの値が0、1、または定数dのいずれか)にわずかに一般化すると、EF配分の存在を決定する問題がNP困難になることが示されています。この結果は、グラフィカル評価の文脈におけるEF配分の複雑さを理解する上で重要な境界線を引いています。
パラメータ化された複雑さ
{0, 1, d}評価に対するEF配分の困難さを考慮して、論文では、関連するグラフの頂点被覆数によってパラメータ化された、問題の固定パラメータ扱いやすさを調べます。頂点被覆とは、すべてのエッジの少なくとも一方の端点を含む頂点の集合です。論文では、異なるユーティリティの数が限られている場合、グラフの最小頂点被覆のサイズでパラメータ化された、EF配分を見つけるための固定パラメータ扱いやすいアルゴリズムが提示されています。
EFX配分と厚生
論文では、グラフィカル評価におけるEFX配分と厚生についても考察しています。EFX配分とは、羨ましがっているエージェントのバンドルから任意のアイテムを削除することで、2人のエージェント間の羨望を解消できる配分のことです。グラフィカル評価ではEFX配分は常に存在しますが、EFX配分はアイテムを無駄にする可能性がある(つまり、アイテムを0と評価するエージェントにアイテムを割り当てる可能性がある)のに対し、EF配分は無駄がないことが示されています。
さらに、論文では、二値評価を持つグラフィカルインスタンスの場合、功利主義的厚生に対するEFXの価格は1であることが示されています。つまり、二値グラフィカル評価に限定すると、厚生の損失はなく、それぞれの厚生を最大化するEFX配分を効率的に見つけることができます。一方、二値評価よりもわずかに一般的な{0, 1, d}評価の場合、功利主義的厚生に大きな損失が発生するインスタンスがあり、その結果、EFXの価格が無限大に跳ね上がることが示されています。
計算の複雑さ
計算の複雑さの観点からは、一般的なグラフィカル評価の場合、功利主義的厚生も最大化するEFX配分を見つけることはNP困難であることが示されています。したがって、EFX配分の集合の中から厚生を最大化する配分を見つけることも困難です。
結論
論文では、グラフィカル評価に対する非羨望配分の複雑さと、近似的な羨望フリーネス(つまり、EFX)を達成する際の厚生の損失を定量化しています。これは、グラフィカル評価のクラスの研究の最初の動機となったものです。
สถิติ
グラフの頂点の最大次数をdとすると、功利主義的厚生に対するEFXの価格は約dになる。
{0, 1} グラフィカルインスタンスの場合、功利主義的厚生、平等主義的厚生、ナッシュ厚生を最大化するEFX配分は常に存在し、多項式時間で求めることができる。