Sliced-Wasserstein Distances and Flows on Cartan-Hadamard Manifolds: Analyzing Optimal Transport Methods

แนวคิดหลัก

Optimal Transport methods on Cartan-Hadamard manifolds are explored through Sliced-Wasserstein distances.

บทคัดย่อ

The content discusses the derivation of Sliced-Wasserstein distances on Cartan-Hadamard manifolds, focusing on non-positive curvature Riemannian manifolds. Various applications and theoretical properties are explored, along with non-parametric schemes for minimizing these distances. The background on Optimal Transport and Riemannian manifolds is provided, leading to the development of Sliced-Wasserstein distances on specific types of manifolds. The content also delves into the projection processes and computational complexities involved in these distances.

สถิติ

Die Wasserstein-Distanz ist auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten definiert.
Die Sliced-Wasserstein-Distanz wird auf Cartan-Hadamard-Mannigfaltigkeiten abgeleitet.
Die geodätische Projektion auf Geodäten wird für die Sliced-Wasserstein-Distanz verwendet.

คำพูด

"Die Sliced-Wasserstein-Distanz auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten wird untersucht."

ข้อมูลเชิงลึกที่สำคัญจาก

Sliced-Wasserstein Distances and Flows on Cartan-Hadamard Manifolds

by Clém... ที่ arxiv.org 03-12-2024

https://arxiv.org/pdf/2403.06560.pdf

สอบถามเพิ่มเติม

Wie können Sliced-Wasserstein-Distanzen auf anderen Arten von Mannigfaltigkeiten angewendet werden?

Die Anwendung von Sliced-Wasserstein-Distanzen auf anderen Arten von Mannigfaltigkeiten erfordert eine Anpassung an die spezifischen Gegebenheiten dieser Mannigfaltigkeiten. Auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten mit nicht-positiver Krümmung, wie den Cartan-Hadamard-Mannigfaltigkeiten, können geodätische Projektionen oder Busemann-Projektionen verwendet werden, um die Distanzen zwischen Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu berechnen. Diese Projektionen ermöglichen es, die Verteilungen auf geodätischen Linien oder Horosphären abzubilden und die Sliced-Wasserstein-Distanzen effizient zu berechnen. Auf Hyperbolischen Räumen können verschiedene Parameterisierungen verwendet werden, wie z.B. das Poincaré-Ballmodell oder das Lorentz-Modell, um die Sliced-Wasserstein-Distanzen anzupassen. Die Anpassung an andere Mannigfaltigkeiten erfordert eine genaue Analyse der Geometrie und der Metriken der jeweiligen Mannigfaltigkeit, um geeignete Projektionen und Distanzberechnungen zu entwickeln.

Welche Auswirkungen haben die geodätischen Projektionen auf die Effizienz der Sliced-Wasserstein-Distanzen?

Die geodätischen Projektionen haben einen direkten Einfluss auf die Effizienz der Sliced-Wasserstein-Distanzen auf Mannigfaltigkeiten. Durch die Verwendung von geodätischen Projektionen können die Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf Linien oder Horosphären abgebildet werden, was es ermöglicht, die Distanzen zwischen den Projektionen effizient zu berechnen. Dies führt zu einer Reduzierung des Rechenaufwands im Vergleich zur direkten Berechnung der Wasserstein-Distanzen auf der gesamten Mannigfaltigkeit. Darüber hinaus ermöglichen geodätische Projektionen eine präzise Abbildung der Verteilungen auf den spezifischen Geometrien der Mannigfaltigkeit, was zu genaueren und aussagekräftigeren Ergebnissen führt.

Wie können die Ergebnisse dieser Studie in der Praxis angewendet werden?

Die Ergebnisse dieser Studie haben verschiedene praktische Anwendungen in Bereichen wie maschinelles Lernen, Datenanalyse und generative Modellierung. Durch die Entwicklung von Sliced-Wasserstein-Distanzen auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten können Daten mit nicht-euklidischer Geometrie effizient verglichen und analysiert werden. Diese Distanzen können in verschiedenen Anwendungen wie der Klassifizierung von Dokumenten, der Generierung von Daten oder der Modellierung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen eingesetzt werden. Darüber hinaus können die in dieser Studie vorgestellten nicht-parametrischen Schemata zur Minimierung der Distanzen verwendet werden, um neue Sampling-Algorithmen auf Mannigfaltigkeiten abzuleiten, was zu innovativen Ansätzen in der Datenanalyse und Modellierung führen kann.