Robuste Reeb-Graphen und Reeb-Räume für Metrik-Maß-Räume

แนวคิดหลัก

Die Arbeit führt maßtheoretische Konstruktionen von Reeb-Graphen und Reeb-Räumen ein, um die Robustheit gegenüber Rauschen in den Daten zu erhöhen. Die vorgestellten Konzepte nutzen den Abstand zu einem Maß oder den Kernabstand zu einem Maß, um eine lokale Glättung zu erreichen, und beweisen deren Stabilität.

บทคัดย่อ

Die Arbeit führt zwei Erweiterungen der klassischen Reeb-Graphen und Reeb-Räume ein, um deren Robustheit gegenüber Rauschen in den Daten zu erhöhen:

Reeb-Graphen mit lokaler Glättung:

Definiert einen Reeb-Graphen, bei dem die Glättung durch eine beschränkte positive Funktion r auf dem Definitionsbereich gesteuert wird.
Beweist die Stabilität dieser lokal geglätteten Reeb-Graphen bezüglich des Verschränkungsabstands.

Maßtheoretische Reeb-Graphen:

Definiert Reeb-Graphen auf Metrik-Maß-Räumen, bei denen entweder der Abstand zu einem Maß oder der Kernabstand zu einem Maß als lokale Glättungsfunktion verwendet wird.
Beweist die Stabilität dieser maßtheoretischen Reeb-Graphen bezüglich der jeweiligen Maße.

Maßtheoretische Reeb-Räume:

Erweitert die maßtheoretischen Konstruktionen und Stabilitätsresultate auf den Fall von Reeb-Räumen für Multifunktionen.
Definiert einen geometrischen Verschränkungsabstand zwischen Reeb-Räumen und beweist dessen Stabilität.
Die vorgestellten Konzepte ermöglichen es, die Topologie von Daten robuster zu erfassen, indem die Verteilung der Daten oder die Wichtigkeit von Merkmalen berücksichtigt wird.

สถิติ

Die Stabilität der lokal geglätteten Reeb-Graphen ist durch den Abstand der lokalen Glättungsfunktionen beschränkt.
Die Stabilität der maßtheoretischen Reeb-Graphen ist durch den 2-Wasserstein-Abstand der zugrunde liegenden Maße beschränkt.
Die Stabilität der maßtheoretischen Reeb-Räume ist durch den geometrischen Verschränkungsabstand beschränkt.

คำพูด

"Unsere Hauptziele sind es, die Robustheit der Reeb-Graphen und Reeb-Räume bei der Darstellung der topologischen Merkmale eines Skalarfeldes unter Berücksichtigung der Verteilung des Maßes zu verbessern."
"Wir argumentieren, dass ein Metrik-Maß-Raum in Datenwissenschaftsanwendungen natürlich auftritt, da wir Gewichte für Datenpunkte im Definitionsbereich oder Funktionswerte im Wertebereich zuordnen möchten, um auszudrücken, wie sehr wir diesen Datenpunkten oder Merkmalen vertrauen."

ข้อมูลเชิงลึกที่สำคัญจาก

Measure Theoretic Reeb Graphs and Reeb Spaces

by Qingsong Wan... ที่ arxiv.org 03-25-2024

https://arxiv.org/pdf/2401.06748.pdf

สอบถามเพิ่มเติม

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