Özet
有向グラフGとその頂点集合V(G)、辺集合E(G)を考える。
安全支配集合Sは、Gの支配集合であり、各頂点u∈S以外に対して、S内の頂点v∈Sが存在し、uvがエッジであり、(S{v})∪{u}もGの支配集合である。
外平面グラフにおける安全支配数γs(G)は、Gの最小安全支配集合の要素数である。
外平面グラフにおいてn≥4頂点を持つ場合、γs(G) ≥ (n + 4)/5 の下限が成り立つことを示す。
外平面グラフは平面上で交差しない埋め込みを持ち、すべての頂点が外側の面(無限大の面)に属する。
安全支配問題はCockayneらによって導入され、パスやサイクルなど一部のグラフクラスに対してγs(G)の正確な値が得られた。
MathesonとTarjanは三角形だけからなるグラフクラスに対してγ(G) ≤ n/3 を証明した。
CamposとWakabayashiは最大外平面グラフに対してγ(G) ≤ (n + k)/4 を示し、Tokunagaも同様結果を独立して証明した。
İstatistikler
外平面グラフでは γs(G) ≤ ⌈3n/7⌉ の上限が成り立つ。
最大外平面グラフGにおいて n/4 < γs(G) ≤ ⌈n/3⌉ が成り立つ。
Alıntılar
"A subset S of vertices in a graph G is a secure dominating set of G if S is a dominating set of G and, for each vertex u ̸∈ S, there is a vertex v ∈ S such that uv is an edge and (S \ {v}) ∪ {u} is also a dominating set of G."
"The purpose of this paper is to prove the next theorem that gives a lower bound of the secure domination number for an outerplanar graph."