Johnson-Mercier Elasticity Element Study in Linear Elasticity with Symmetric Stresses

Temel Kavramlar

Optimal error estimates and improved convergence rates in numerical solutions for linear elasticity using the Johnson-Mercier element.

Özet

Introduction

Study of mixed methods for linear elasticity with symmetric stresses.
Challenges in finding suitable stress and displacement spaces satisfying stability conditions.

Two-Dimensional Elastostatic Problem

Introduction of the Johnson-Mercier element on triangular meshes.
Displacement space composed of piecewise linear functions.

Higher Dimensional Versions

Investigation of higher dimensional versions on Alfeld splits.
Extension to three dimensions by Kˇr´ıˇzek in 1982 before Alfeld's work.

Unisolvency Proofs

Unisolvency proof of the 3D version of Johnson-Mercier stress element.

Finite Element Discretization

Canonical finite element discretization and unisolvency degrees of freedom for the space Σh(T).

Error Analysis

Error estimates for numerical solutions and superconvergent error estimates via post-processing.

Piecewise Constant Displacements

Replacement of displacement space Vh with Wh to exact satisfaction of equilibrium equation.

Robustness in Incompressible Limit

Convergence analysis for nearly incompressible isotropic materials satisfying weaker ellipticity inequality.

İstatistikler

要素は42次元で一意に決定される。
メッシュの要素ごとに24自由度を持つ。
応力のL2誤差は、Aノルムとh∥ div(σ − Πσ)∥L2(Ω)によって制御される。

Alıntılar

"Decades of research have illuminated the nontrivial difficulties in finding such a pair of spaces, Σh × Vh."
"Composite stress elements are interesting because they promise liberation from the necessity of vertex degrees of freedom when using polynomial elements."

Önemli Bilgiler Şuradan Elde Edildi

The Johnson-Mercier elasticity element in any dimensions

by Jay Gopalakr... : arxiv.org 03-21-2024

https://arxiv.org/pdf/2403.13189.pdf

Daha Derin Sorular

How does the study on higher dimensional versions impact practical applications

高次元バージョンの研究が実用的な応用にどのように影響するかを考えると、新しいJohnson-Mercier要素はより複雑な構造や物理現象をモデル化する際に役立つ可能性があります。例えば、建築や土木工学分野では、高次元要素を使用して地盤沈下や構造物の変形などの問題を解析することができます。また、材料科学や生体医工学分野でも、高次元要素はさまざまな材料特性や生体組織の挙動を詳細に調査するために活用されるかもしれません。

What are potential limitations or drawbacks when using piecewise constant displacements

ピースワイズ定数変位を使用する際の潜在的な制限や欠点はいくつかあります。一つ目は精度の低下です。定数変位は滑らかで連続的な変位フィールドを近似するため、曲率が急峻な領域では正確な結果が得られず、エラーが増大する可能性があります。また、収束速度も遅くなる場合があります。さらに、ピースワイズ定数変位では局所的な挙動しか表現できず、全体的なシステムダイナミクスを捕捉しきれないことも欠点と言えるでしょう。

How can the findings on robustness in the incompressible limit be applied to real-world engineering problems

非圧縮極限での堅牢性に関する知見は実世界のエンジニアリング問題へどう応用されるか考えてみましょう。この知見は主に強度計算および安全係数設計プロセスに影響します。非常に圧密または不圧密条件下で働く材料（例：土壌）や構造物（例：コンクリート製品）向けの設計時、「近似」から「厳密」解法へ移行したり、「危険」から「安全」領域へ移行したりする必要性がある場面で重要です。