Temel Kavramlar
본 논문에서는 상태 제약이 있는 분산 추적 유형 최적 제어 문제에 대한 효율적인 수치적 해법을 제시합니다. 이는 시공간 유한 요소법과 반 매끄러운 뉴턴 방법을 사용하여 이산화된 변분 부등식을 풀어 최적 상태를 찾습니다.
Özet
상태 제약을 받는 분산 포물선형 최적 제어 문제에 대한 효율적인 해법
본 논문에서는 상태 제약이 있는 분산 추적 유형 최적 제어 문제를 수치적으로 푸는 효율적인 방법을 제시합니다. 특히, 열 방정식을 제약 조건으로 가지는 최적 제어 문제를 다룹니다. 목표는 주어진 목표 함수를 최대한 잘 근사하는 제어 함수와 상태 함수를 찾는 것입니다.
최적 제어 문제
주어진 목표 함수 $u$를 최대한 잘 근사하는 제어 함수 $z$와 상태 함수 $u$를 찾는 최적 제어 문제를 고려합니다. 이 문제는 다음과 같은 최소화 문제로 공식화할 수 있습니다.
$$
J(u, z) = \frac{1}{2} \int_0^T \int_\Omega [u(x, t) - \bar{u}(x, t)]^2 dx dt + \frac{1}{2} \rho |z|^2_Z
$$
여기서 $\Omega$는 공간 영역, $T$는 시간 구간, $\rho$는 정규화 매개변수입니다. 제약 조건은 열 방정식으로 주어지며, Dirichlet 경계 조건을 만족합니다.
시공간 유한 요소법
논문에서는 최적 제어 문제를 수치적으로 풀기 위해 시공간 유한 요소법을 사용합니다. 이 방법은 시간과 공간을 모두 이산화하여 문제를 유한 차원으로 변환합니다. 특히, 비등방성 Sobolev 노름을 사용하여 비용 함수를 정의하고, 이를 시공간 텐서 곱 유한 요소 메쉬를 사용하여 효율적으로 구현합니다.
반 매끄러운 뉴턴 방법
상태 제약이 있는 경우, 최적 제어 문제는 1종 변분 부등식으로 특징지어집니다. 이산화된 변분 부등식을 풀기 위해 반 매끄러운 뉴턴 방법을 사용합니다. 이 방법은 활성 집합 전략을 사용하여 제약 조건을 처리합니다.
논문에서는 제안된 방법의 효율성을 보여주기 위해 수치 결과를 제시합니다. 특히, 다양한 메쉬 크기에 대한 뉴턴 반복 횟수와 CG 반복 횟수를 보여줍니다. 또한, 제약 조건이 있는 경우와 없는 경우의 해를 비교하여 제안된 방법의 정확성을 보여줍니다.