核心概念
強ノイズ下におけるウォンハムフィルターの振る舞いには、スパイクの出現と完全なスムージングの2つの極端な状況が存在する。スムージングウィンドウの長さによって、これらの状況が明確に分かれる。
摘要
本論文では、隠れマルコフ過程xの観測過程yγに対するウォンハムフィルターπγの振る舞いを研究している。特に、観測ノイズが小さい(γが大きい)極限での挙動に注目している。
まず、πγがxに弱収束することを示す。しかし、より強い位相(グラフのハウスドルフ距離)では、πγは2つの極端な振る舞いを示すことが分かる。
- スムージングウィンドウδγが小さい(C < 2のとき)場合、スパイクが残存し、πδγ,γはスパイク過程Xに収束する。
- スムージングウィンドウδγが大きい(C > 8のとき)場合、スムージングが起こり、πδγ,γはxに収束する。
この違いは、減衰項Dγ
tの挙動によって説明できる。Dγ
tが0に収束するか∞に発散するかによって、スパイクの有無が決まる。
この結果は、フィードバック制御システムにとって重要な示唆を与える。ノイズが小さい場合でも、フィードバックの速さによってはシステムが誤動作する可能性があることを示している。
統計資料
観測過程yγ
tは、隠れマルコブ過程xtと標準ブラウン運動Btの和で表される: dyγ
t = xtdt + 1/√γdBt
ウォンハムフィルターπγ
tは以下の確率微分方程式に従う: dπγ
t = -λ(πγ
t - p)dt + √γπγ
t(1-πγ
t)dWt
スムージングウィンドウはδγ = C log γ/γと表される
引述
"スパイクは、フィードバック制御システムを誤動作させる可能性のある予期せぬ現象である。"
"ノイズが小さい場合でも、フィードバックの速さによってはシステムが誤動作する可能性がある。"