核心概念
本論文では、低正則性の速度場を持つ確率的輸送方程式に対する収束性のある有限差分スキームを提案し、解析する。
摘要
本論文では、確率的輸送方程式の弱L2解に対する有限差分近似スキームを提案し、その収束性を示す。
まず、弱L2解の定義と一意性を示す。次に、提案するスキームを詳細に説明し、主定理を述べる。
スキームの解析では以下の点に注目する:
不規則な速度場Vに対して、離散的なL2安定性を確立するため、離散双対性アプローチを用いる。これには、変数係数の離散的な熱方程式の詳細な解析が必要となる。
確率的な勾配ノイズの離散化において、スキームの構造が重要な役割を果たす。提案するスキームは、ノイズ項の離散化と拡散項の離散化の間に適切な関係を保つ。
「ノイズによる正則化」の考え方を活用し、不規則な速度場に対するL2安定性を確立する。
最終的に、提案スキームの一意性、安定性、そして収束性を示す。
統計資料
以下の重要な数値が示されている:
速度場Vは、Lp(Rd)に属し、div V ∈Lp(Rd)を満たす(p > d)。
ノイズ係数σは、W 3,∞(Rd)に属し、σ(x) ⩾ σ0 > 0を満たす。
初期値u0は、L2(Rd)に属する。