核心概念
本稿では、G(r, p, n) 型円分ヘッケ代数の準正規基底を、より単純な G(r, 1, n) 型円分ヘッケ代数の準正規基底を用いて構成する方法を提示する。
摘要
G(r, p, n) 型円分ヘッケ代数の準正規基底の構成
本論文は、複素鏡映群の一般化である G(r, p, n) 型円分ヘッケ代数の表現論に関する研究論文である。特に、半単純な G(r, 1, n) 型円分ヘッケ代数の既知の準正規基底を用いて、半単純な G(r, p, n) 型円分ヘッケ代数の準正規基底を構成する方法を提示している。
主な結果
- γ-係数の有理的性質: G(r, 1, n) 型ヘッケ代数の準正規基底の構成要素である γ-係数について、いくつかの重要な有理的性質を証明する。特に、これらの係数の商や積が特定の対称性を持つことを示す。
- 準正規基底の構成: 上記の γ-係数の性質を用いて、G(r, p, n) 型ヘッケ代数の準正規基底を、G(r, 1, n) 型ヘッケ代数の準正規基底の線形結合として明示的に構成する。
- 中心とσ-ツイストk-中心の基底: 構成した準正規基底を用いて、G(r, p, n) 型ヘッケ代数の中心 Z(Hr,p,n) の基底と、G(r, 1, n) 型ヘッケ代数の σ-ツイスト k-中心 Z(Hr,n)(k) の基底を明示的に記述する。
意義と応用
本論文の結果は、G(r, p, n) 型円分ヘッケ代数の表現論、特にその非半単純な場合の研究に重要な基盤を提供する。具体的には、以下のような応用が期待される。
- 非半単純表現の研究: 準正規基底は、非半単純なヘッケ代数の表現を調べるための強力な道具となる。本論文の結果は、G(r, p, n) 型ヘッケ代数のブロック構造や、その加群の構造を理解する上で重要な手がかりとなる。
- 中心の安定性の研究: 本論文では、半単純な場合における中心の基底を明示的に構成している。この結果は、非半単純な場合でも中心の次元が安定しているかどうかを調べるための出発点となる。
本論文の構成
論文は以下のように構成されている。
- セクション2: G(r, p, n) 型円分ヘッケ代数の定義、記号の導入、および後のセクションで使用する組み合わせ論的な概念の説明を行う。
- セクション3: G(r, 1, n) 型ヘッケ代数の準正規基底と γ-係数の定義を復習し、これらの γ-係数の対称性と有理的な性質を証明する。
- セクション4: セクション3の結果を用いて、G(r, p, n) 型ヘッケ代数の準正規基底を構成する。
- セクション5: 構成した準正規基底を用いて、G(r, p, n) 型ヘッケ代数の中心と σ-ツイスト k-中心の基底を記述する。また、一般的な(非半単純な)場合における中心の次元安定性に関する考察を行う。