核心概念
本論文では、実代数多様体の補集合の連結成分を効率的に計算するアルゴリズムを提案する。このアルゴリズムは、モース理論に基づいて設計されており、多項式の臨界点を見つけ、それらを経路追跡することで、各領域の位相的性質を特徴付ける。
摘要
本論文では、実代数多様体の補集合の連結成分を効率的に計算するアルゴリズムを提案している。
まず、対象とする多様体Uは、k個の多項式f1, f2, ..., fkの零集合の補集合として定義される。このような多様体の領域を特徴付けるために、修正版の対数尤度関数gを導入する。gは、Uの上で正値かつ無限大で発散する。その臨界点は、Uの領域の境界に位置する。
次に、山越え定理を用いて、各領域の臨界点を連結するグラフを構築する。これにより、各領域の位相的性質、特に融合した領域の特定や、有界領域と無界領域の判別が可能となる。
提案するアルゴリズムは、Julia言語で実装されており、HomotopyContinuation.jlとDifferentialEquations.jlを利用している。いくつかの具体例を通して、本手法の有効性と適用範囲の広さを示している。
統計資料
多様体Uの臨界点の数は、多項式f1, ..., fkの次数に依存する上界を持つ。
3次元の4つの放物面の配置では、6つの有界領域と6つの無界領域が存在する。
3次元の5つの3次曲面の配置では、最大119個の領域が存在する。Euler特性は-4から3の範囲にある。
引述
"本論文では、実代数多様体の補集合の連結成分を効率的に計算するアルゴリズムを提案する。"
"提案するアルゴリズムは、モース理論に基づいて設計されており、多項式の臨界点を見つけ、それらを経路追跡することで、各領域の位相的性質を特徴付ける。"
"提案するアルゴリズムは、Julia言語で実装されており、HomotopyContinuation.jlとDifferentialEquations.jlを利用している。"