核心概念
평면 그래프에는 크기가 선형인 자유 집합이 존재한다. 이러한 자유 집합은 그래프 그리기 등 다양한 응용 분야에서 유용하게 활용될 수 있다.
摘要
이 논문은 평면 그래프에서 자유 집합에 대해 다룬다. 자유 집합은 그래프의 정점 부분집합으로, 이 집합의 정점들을 임의의 점들에 대응시켜도 교차 없는 직선 그래프 그리기가 가능하다.
논문에서는 자유 집합의 네 가지 정의를 소개하고, 이 정의들이 모두 동치임을 보인다. 또한 다양한 평면 그래프 부류에서 선형 크기의 자유 집합이 존재함을 보이고, 자유 집합의 응용 사례들을 설명한다.
구체적으로:
- 2절에서는 자유 집합의 네 가지 정의를 소개하고, 이들이 동치임을 보인다.
- 3절에서는 평면 그래프의 부류별로 선형 크기의 자유 집합이 존재함을 보인다. 트리, 외평면 그래프, 경계 최대 외평면 그래프, 트리폭 3 이하 그래프 등에서 선형 크기의 자유 집합이 존재함을 보인다.
- 4절에서는 자유 집합의 응용 사례들을 설명한다. 그래프 풀어헤치기, 보편 점 부분집합, 동시 기하학적 임베딩, 열 평면성 등에 자유 집합이 활용될 수 있음을 보인다.
- 5절에서는 자유 집합의 변형인 1-벤드 자유 집합을 소개한다.
- 6절에서는 향후 연구 과제들을 제시한다.
統計資料
평면 그래프 G의 n개 정점 중 적어도 √n/2개의 정점으로 구성된 자유 집합이 존재한다.
트리폭 k인 평면 그래프 G는 크기 Ω(k^2)의 자유 집합을 가진다.
삼차 연결 입방 평면 그래프 G의 n개 정점 중 적어도 n/4개의 정점으로 구성된 자유 집합이 존재한다.
引述
"A subset S of vertices in a planar graph G is a free set if, for every set P of |S| points in the plane, there exists a straight-line crossing-free drawing of G in which vertices of S are mapped to distinct points in P."
"Determining the asymptotic growth of fixF(n) turns out to be a challenging problem, even for very simple classes F."
"A key result in this area, discovered over a period of roughly 15 years, is that all of these definitions are equivalent: A vertex subset in a planar graph is proper-good if and only if it is collinear if and only if it is free-collinear if and only if it is free."