核心概念
In diesem Bericht untersuchen wir die Datenauswahl, die zu einer Familie von Schätzern führt, die eine Zentralität maximieren. Die Familie weist angenehme Eigenschaften auf, die zu einer genauen und robusten Anpassung von Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen nach bestimmten Kriterien führen. Wir stellen einen Zusammenhang zwischen dem Zentralitätsschätzer und der Maximum-Likelihood-Methode her und zeigen, dass Letztere ein Sonderfall ist. Daher liefern wir eine neue Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Fisher'schen Maximum-Likelihood-Methode. Wir werden zwei spezifische Zentralitäten einführen und untersuchen, die wir als Hölder- und Lehmer-Schätzer bezeichnet haben. Eine numerische Simulation zeigt die Wirksamkeit der vorgeschlagenen Schätzerfamilien und eröffnet neue Konzepte und Algorithmen in den Bereichen Maschinelles Lernen, Data Mining, Statistik und Datenanalyse.
摘要
Der Bericht untersucht Zentralitätsschätzer für Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen (PDF).
Kernpunkte:
- Motivation: Fehler in realen Daten, Annahme der Unabhängigkeit und Identität, unbekannte PDF. Die Maximum-Likelihood-Methode (MLE) kann durch diese Probleme beeinträchtigt werden.
- Vorschlag: Verwendung von Zentralitätsmaßen wie Hölder und Lehmer anstelle der MLE. Diese Zentralitäten implementieren spezifische Datenauswahlkriterien und können genauere und robustere PDF-Anpassungen ermöglichen.
- Eigenschaften der Hölder- und Lehmer-Zentralitäten: Monotonie, Beziehung zur MLE, Interpretation als Wahrscheinlichkeit.
- Schätzung der Zentralitätsschätzer: Herleitung der Bedingungen für kritische Punkte und Maxima.
- Genauigkeitsanalyse: Definition von Residuen und beobachteter Zentralitäts-Fisher-Information zur Bewertung der Schätzergenauigkeit.
- Fallstudie: Anwendung auf die Exponentialverteilung, Vergleich von Hölder- und Lehmer-Schätzern.
統計資料
Die Exponentialverteilung hat die Dichtefunktion h(x|θ) = θexp(-θx).
Die erste Ableitung der Hölder-Zentralität ist:
∂Cα(θ)/∂θ = Σi λi(-xi + 1/θ)(αgα(xi|θ) - (α-1)gα-1(xi|θ))
Die erste Ableitung der Lehmer-Zentralität ist:
∂Cα(θ)/∂θ = Σi λi(-xi + 1/θ)(αgα(xi|θ) - (α-1)gα-1(xi|θ)) / Σi λigα-1(xi|θ)
Wobei gα(x|θ) = exp(-αθx) / Σi λiexp(-αθxi).
引述
"Die Verwendung von Zentralitätsmaßen wie Hölder und Lehmer anstelle der Maximum-Likelihood-Methode kann genauere und robustere PDF-Anpassungen ermöglichen."
"Die Hölder- und Lehmer-Zentralitäten implementieren spezifische Datenauswahlkriterien, die zu einer höheren Wahrscheinlichkeit P_θ(X) führen können."