Основні поняття
本文探討了 GL2(D) 主序列表示的子商的扭曲雅可比模塊的結構,其中 D 是非阿基米德局部域 F 上的除法代數,證明了 D. Prasad 關於 D 為四元數除法代數時 Sp(τ) 的扭曲雅可比模塊的猜想,並計算了 D 為任意除法代數時,深度為零的廣義 Speh 表示的扭曲雅可比模塊的維數。
Анотація
文獻資訊
Nadimpalli, S., & Sheth, M. (2024). Twisted Jacquet modules: A conjecture of D. Prasad. Journal of Number Theory, 257, 124–145.
研究目標
- 研究 GL2(D) 主序列表示的子商的扭曲雅可比模塊的結構,其中 D 是非阿基米德局部域 F 上的除法代數。
- 證明 D. Prasad 關於 D 為四元數除法代數時 Sp(τ) 的扭曲雅可比模塊的猜想。
- 計算 D 為任意除法代數時,深度為零的廣義 Speh 表示的扭曲雅可比模塊的維數。
研究方法
- 比較 GL2(D) 和 GL4(F) 的表示的芽展開,這些表示在雅可比-朗蘭茲對應下彼此對應。
- 利用 Moy 和 Prasad 的結果,證明了 I(1)-不變量與雅可比模塊的相容性。
- 使用 Minguez 和 Secherre 的結果,描述了第一個主同餘子群 K(1) 的不變量空間的關鍵部分。
- 使用高斯和的計算來確定 Sp(τ) 的扭曲雅可比模塊的顯式結構。
主要發現
- 當 D 為四元數除法代數時,Sp(τ)N,ψ 作為 D×-表示同構於 ωτ ◦NrD/F,其中 ωτ 是 τ 的中心特徵,NrD/F 是 D 的約化範數映射。
- 對於任意除法代數 D,自然映射 (τ1 × τ2)I(1),ψ0 → (τ1 × τ2)N,ψ 是一個同構。
- 對於深度為零的 τ,Sp(τ)N,ψ 的維數等於 d(d −1)/2,其中 d 是 τ 的維數。
- 當 d 為奇數時,D×-表示 Sp(τ)N,ψ 同構於外積表示。
- 當 d = 2 時,D×-表示 Sp(τ)N,ψ 是特徵 (θ ◦NrD/F)µ(−1)m+1。
主要結論
- 本文證明了 D. Prasad 的猜想,並將其推廣到任意除法代數的深度為零的情況。
- 本文計算了深度為零的廣義 Speh 表示的扭曲雅可比模塊的維數和顯式結構。
研究意義
- 本文的研究結果有助於更好地理解非分裂 p 進群的 Whittaker 模型。
- 本文的研究結果對理解 GL2(D) 的表示論具有重要意義。
研究限制和未來方向
- 本文僅考慮了深度為零的表示。
- 未來可以研究深度大於零的表示的扭曲雅可比模塊的結構。
Статистика
當 τ 的維數 d 大於 2 時,Speh 表示不再支持唯一的 Whittaker 模型。
當 d 為奇數時,D×-表示 Sp(τ)N,ψ 同構於外積表示。
當 d = 2 時,D×-表示 Sp(τ)N,ψ 是特徵 (θ ◦NrD/F)µ(−1)m+1。
Цитати
"The multiplicity one property of the space of Whittaker models has been a central result in the representation theory of quasi-split reductive groups over local fields."
"The dimension of the space of generalized Whittaker models is a useful invariant to measure the growth of a representation and can be greater than one for general p-adic reductive groups."
"Nonetheless, the spaces of Whittaker models seem to be far from being well understood, especially for non-quasi-split p-adic groups."