使用多延遲離散延遲微分方程式精確模擬具有分佈延遲的模型

Основні поняття

本文闡述了如何利用多延遲離散延遲微分方程式精確地模擬具有分佈延遲的模型，並探討了分佈延遲微分方程式與多延遲離散延遲微分方程式之間的數值等價性。

Анотація

分佈延遲微分方程式的數值模擬

本文旨在探討如何使用多延遲離散延遲微分方程式 (DDE) 來精確模擬具有分佈延遲的模型。傳統上，這類分佈延遲微分方程式通常透過將分佈延遲離散化並使用現有工具來模擬所得的多延遲 DDE，或者在對延遲過程進行額外假設的情況下使用等效表示來進行模擬。

本文採用函數連續龍格庫塔法 (FCRK) 的現有框架，證實了這種常用方法的收斂性。分析結果表明，數值方法的精度主要受限於其中最不精確的方法。

文中舉例說明預測的收斂性，並推導出分佈延遲和離散延遲微分方程式之間的一類新的等價關係，並給出了分佈延遲微分方程式中斷點存在的條件。

最後，本文的研究表明，最近報導的多延遲複雜性坍縮是如何從具有多個離散延遲的方程式收斂到具有分佈延遲的方程式自然產生的，從而提供了對 Mackey-Glass 方程式動力學的洞察力。

主要內容：

• 介紹了函數連續龍格庫塔法 (FCRK) 並建立了用於具有緊湊支持的分佈 DDE 的一致 FCRK。
• 闡述了如何透過適當精確的正交規則將卷積積分離散化，從而將分佈 DDE 轉換為數值等效的多延遲離散 DDE。
• 證明了 FCRK 方法的全局誤差階數由正交規則的階數和 FCRK 方法本身的階數中的較小者決定。
• 透過一系列數值算例驗證了理論結果，並使用 Matlab 內建的 DDE 求解器 ddesd 對具有不同分佈核的線性和非線性測試問題進行了模擬。
• 探討了分佈 DDE 中斷點的存在性，並給出了確保斷點不會隨時間推移而傳播的條件。
• 應用所提出的數值框架來解釋 Mackey-Glass 方程式中觀察到的多延遲複雜性坍縮現象，表明這種現象可以理解為多延遲離散 DDE 收斂到具有緊湊支持的分佈 DDE 的結果。

總之，本文為具有緊湊支持的分佈 DDE 的數值模擬提供了一個嚴謹的框架，並建立了分佈延遲和離散延遲 DDE 之間的數值等價性。

Статистика

γ = 1
β = 2
τavg = 17

Цитати

"These compactly supported distributed DDEs are generically given by..."
"Therefore, we develop a numerical method for the simulation of Eq. (1.1) based on existing functional continuous Runge-Kutta (FCRK) methods."
"Tavakoli and Longtin [29] observed that, for a number of prototypical DDEs, including the Lang-Kobayashi and Mackey-Glass equations, increasing the number of delays increases dynamical complexity until dynamics suddenly simplify."

Ключові висновки, отримані з

Using multi-delay discrete delay differential equations to accurately simulate models with distributed delays

by Tyler Cassid... о arxiv.org 10-15-2024

https://arxiv.org/pdf/2410.09451.pdf

Глибші Запити

如何將本文提出的方法推廣到具有無限延遲或狀態依賴延遲的分佈 DDE？

將本文提出的方法推廣到具有無限延遲或狀態依賴延遲的分佈 DDE 會遇到一些挑戰：
無限延遲：

數值積分範圍： 本文提出的方法依賴於對卷積積分進行數值積分，而無限延遲意味著積分範圍變為無限。解決這個問題的方法包括：

截斷積分範圍： 選擇一個足夠大的時間點，將無限延遲截斷為有限延遲。這樣做的前提是確保被截斷的部分對系統動態的影響可以忽略不計。
使用特殊的數值積分方法： 例如 Gauss-Laguerre 積分法，可以處理無限積分範圍。

歷史函數存儲： 無限延遲需要存儲無限長時間的歷史函數，這在實際操作中是不可能的。解決方法包括：

使用有限的歷史函數： 假設系統在足夠遠的過去的狀態對當前狀態的影響可以忽略不計，僅存儲有限時間段內的歷史函數。
使用狀態變量擴增技術： 將無限維的歷史函數信息壓縮到有限維的狀態變量中，例如線性鏈技術。
狀態依賴延遲：

延遲的動態變化： 狀態依賴延遲意味著延遲本身是一個動態變化的量，這會增加數值求解的難度。解決方法包括：

使用迭代方法： 在每個時間步長內，迭代求解延遲和系統狀態，直到滿足一定的精度要求。
使用隱式數值方法： 隱式方法可以更好地處理狀態依賴延遲帶來的數值穩定性問題。
總之，將本文提出的方法推廣到具有無限延遲或狀態依賴延遲的分佈 DDE 需要克服數值積分、歷史函數存儲和延遲動態變化等方面的挑戰。

是否存在一些情況下，多延遲離散 DDE 比分佈 DDE 更適合模擬具有分佈延遲的系統？

雖然本文展示了使用多延遲離散 DDE 來逼近分佈 DDE 的有效性，但在某些情況下，直接使用多延遲離散 DDE 可能更為適合：

延遲分佈具有明顯的離散性： 當系統中的延遲來源於幾個明確的過程，並且每個過程都具有相對集中的延遲時間時，使用多延遲離散 DDE 可以更直接地反映這種離散性。
計算效率： 在某些情況下，直接模擬多延遲離散 DDE 可能比使用數值積分方法逼近分佈 DDE 更有效率，特別是當延遲數量較少時。
模型簡化： 如果使用分佈 DDE 並沒有顯著提高模型的準確性或預測能力，那麼使用更簡單的多延遲離散 DDE 模型可能更為實際。
然而，需要注意的是，直接使用多延遲離散 DDE 可能會掩蓋分佈延遲的某些重要特徵，例如延遲的異質性。因此，在選擇模型時，需要權衡模型的複雜性和準確性，以及對計算效率的要求。

本文提出的數值框架如何應用於分析和理解生物系統中的其他複雜動力學現象？

本文提出的數值框架為分析和理解生物系統中的其他複雜動力學現象提供了一個有效的工具。以下是一些潛在的應用方向：

神經科學： 神經元之間的信號傳遞存在延遲，並且這些延遲往往是分佈式的。該框架可以用於研究神經網絡中的同步、振盪和模式形成等現象。
流行病學： 傳染病的潛伏期和傳染期通常是分佈式的。該框架可以用於建立更精確的傳染病模型，預測疾病的傳播動態。
生態學： 物種之間的相互作用，例如捕食和競爭，往往存在時間延遲。該框架可以用於研究生態系統的穩定性、多樣性和動態變化。
細胞生物學： 細胞內的基因調控、蛋白質合成和信號轉導等過程都涉及時間延遲。該框架可以用於研究細胞的生長、分化和凋亡等過程。
總之，該數值框架為研究生物系統中的分佈延遲現象提供了一個通用的方法。通過將分佈 DDE 轉換為多延遲離散 DDE，可以使用現有的數值方法進行高效和準確的模擬，從而更深入地理解生物系統的複雜動力學行為。