Основні поняття
本論文では、|x| = 2 max{0, x} - xを用いて、一般絶対値方程式Ax - B|x| = bを解くための最大値ベースの反復法クラスを提案する。提案手法の収束条件を示し、数値実験により提案手法の有効性と実現可能性を確認する。
Анотація
本論文では、一般絶対値方程式(GAVE)Ax - B|x| = bを解くための新しい最大値ベースの反復法クラスを提案している。
まず、|x| = 2 max{0, x} - xを用いて、GAVEを(A + B + Ω)x = Ωx + 2B max{0, x} + bの形に変形する。この式に基づいて、以下のような最大値ベースの反復法を提案する:
xk+1 = (A + B + Ω)^(-1)(Ωxk + 2B max{0, xk} + b)
ここで、A + B + Ωが可逆であることを仮定する。
提案手法の収束性について、いくつかの十分条件を示した。特に、Aと Bが特定の行列クラスに属する場合の収束性を明らかにした。
数値実験では、提案手法と既存の反復法(修正ニュートン法、GMRES法など)を比較し、提案手法の有効性と実用性を確認した。提案手法は反復回数、計算時間、相対誤差の観点で優れた性能を示した。
また、解xが非正の場合、GAVEは線形システムに帰着されることを示した。このような場合、Krylov部分空間法などを用いて効率的に解くことができる。
全体として、本論文では新しい最大値ベースの反復法を提案し、その理論的・数値的な性質を明らかにしている。提案手法は一般絶対値方程式を解く上で有効な手法であると考えられる。
Статистика
Ax - B|x| = bにおいて、xが非正の場合、(A + B)xが bに等しくなる。
(A + B + Ω)xが Ωx + 2B max{0, x} + bに等しくなる。
Цитати
"By using |x| = 2 max{0, x} - x for the GAVE (1.1), the GAVE (1.1) is equal to
(A + B + Ω)x = Ωx + 2B max{0, x} + b,
where A + B + Ω is invertible."
"Clearly, Method 3 gives a new general framework for solving the GAVE (1.1). Similar to Method 2, some relaxation methods are generated by selecting the matrix splitting of matrix A + B for (2.1)."
"This shows that under certain condition, determining the solution of the absolute value equation is equal to determining the solution of the linear system."