최소 정점 커버 크기에 따른 다항식 크기의 열거 커널

Основні поняття

주어진 그래프 G에 대해 정점 커버 크기 k에 따라 Degree-d-Cut 문제의 다항식 크기 열거 커널을 제공한다. 이를 통해 모든 degree-d-cut, 최소 degree-d-cut, 최대 degree-d-cut을 다항식 지연 시간 또는 완전 다항식 시간에 열거할 수 있다.

Анотація

이 논문은 Degree-d-Cut 문제에 대한 열거 커널화를 연구한다. Degree-d-Cut 문제는 그래프 G에서 모든 정점 u가 B에서 최대 d개의 이웃을 가지고 모든 정점 v가 A에서 최대 d개의 이웃을 가지는 cut (A, B)를 찾는 문제이다.

저자는 다음과 같은 세 가지 열거 변형 문제를 고려한다:

1. Enum Deg-d-Cut: 모든 degree-d-cut 열거
2. Enum Min Deg-d-Cut: 모든 최소 degree-d-cut 열거
3. Enum Max Deg-d-Cut: 모든 최대 degree-d-cut 열거

저자는 정점 커버 크기 vc, 이웃 다양성 nd, 클리크 분할 수 pc를 매개변수로 사용하여 다음과 같은 결과를 제시한다:

1. Enum Min Deg-d-Cut은 vc에 대해 완전 다항식 크기의 열거 커널을 가진다.
2. Enum Deg-d-Cut과 Enum Max Deg-d-Cut은 vc에 대해 다항식 지연 열거 커널을 가진다.
3. Enum Min Deg-d-Cut, Enum Deg-d-Cut, Enum Max Deg-d-Cut은 nd에 대해 다항식 크기의 다항식 지연 열거 커널을 가진다.
4. Enum Deg-d-Cut, Enum Min Deg-d-Cut, Enum Max Deg-d-Cut은 pc에 대해 bijective 열거 커널을 가진다.

이러한 결과는 Degree-d-Cut 문제에 대한 효율적인 열거 알고리즘의 설계에 기여한다.

Статистика

정점 커버 크기 k에 대한 Enum Min Deg-d-Cut의 완전 다항식 크기 열거 커널은 O(d3kd+1) 크기이다.
정점 커버 크기 k에 대한 Enum Deg-d-Cut과 Enum Max Deg-d-Cut의 다항식 지연 열거 커널은 O(d3kd+1) 크기이다.
이웃 다양성 k에 대한 Enum Min Deg-d-Cut의 완전 다항식 크기 열거 커널은 O(d2k) 크기이다.
이웃 다양성 k에 대한 Enum Deg-d-Cut과 Enum Max Deg-d-Cut의 다항식 지연 열거 커널은 O(d2k) 크기이다.
클리크 분할 수 k에 대한 Enum Deg-d-Cut, Enum Min Deg-d-Cut, Enum Max Deg-d-Cut의 bijective 열거 커널은 O(kd+2) 크기이다.

Цитати

"Enumeration kernelization was first proposed by Creignou et al. [TOCS 2017] and was later refined by Golovach et al. [JCSS 2022] into two different variants: fully-polynomial enumeration kernelization and polynomial-delay enumeration kernelization."
"Checking the existence of a degree-d-cut in a graph is a well-known NP-Complete problem and is well-studied in parameterized complexity [Algorithmica 2021, IWOCA 2021]."

Ключові висновки, отримані з

Enumeration Kernels of Polynomial Size for Cuts of Bounded Degree

by Diptapriyo M... о arxiv.org 04-30-2024

https://arxiv.org/pdf/2308.01286.pdf

Глибші Запити

Degree-d-Cut 문제에 대한 다른 구조적 매개변수는 무엇이 있을까

Degree-d-Cut 문제에 대한 다른 구조적 매개변수는 무엇이 있을까?
Degree-d-Cut 문제에 대한 다른 구조적 매개변수로는 최소 꼭짓점 커버 크기, 이웃 다양성, 클리크 분할 수 등이 있을 수 있습니다. 최소 꼭짓점 커버 크기는 그래프의 최소 꼭짓점 커버의 크기를 나타내며, 이웃 다양성은 모듈러 분해의 크기를 나타내며, 클리크 분할 수는 그래프의 클리크 분할 수를 나타냅니다. 이러한 구조적 매개변수를 활용하여 Degree-d-Cut 문제를 다양한 관점에서 분석하고 해결할 수 있습니다.

Degree-d-Cut 문제의 다른 변형 문제들은 어떤 것이 있으며, 이에 대한 열거 커널화 결과는 어떨까

Degree-d-Cut 문제의 다른 변형 문제들은 어떤 것이 있으며, 이에 대한 열거 커널화 결과는 어떨까?
Degree-d-Cut 문제의 다른 변형 문제로는 Enum Deg-d-Cut, Enum Min Deg-d-Cut, Enum Max Deg-d-Cut 등이 있습니다. 이러한 변형 문제들은 모두 Degree-d-Cut 문제를 다른 관점에서 다루고 있으며, 각각 모든 d-컷을 열거하는 문제, 최소 d-컷을 열거하는 문제, 최대 d-컷을 열거하는 문제를 다룹니다. 이러한 변형 문제들에 대한 열거 커널화 결과는 다양한 구조적 매개변수를 활용하여 다양한 크기의 커널을 제공하고 있습니다. 예를 들어, Enum Min Deg-d-Cut 문제에 대한 fully-polynomial enumeration kernel은 O(d^3vc^d+1)개의 정점을 포함하는 커널을 제공하고 있습니다.

Degree-d-Cut 문제와 관련된 실제 응용 분야는 무엇이 있을까

Degree-d-Cut 문제와 관련된 실제 응용 분야는 무엇이 있을까?
Degree-d-Cut 문제는 그래프 이론과 조합 최적화 분야에서 중요한 문제로 다루어지며, 실제로 네트워크 설계, 데이터 분석, 컴퓨터 비전 등 다양한 분야에서 응용될 수 있습니다. 예를 들어, 네트워크 흐름 최적화, 커뮤니케이션 네트워크의 최적화, 이미지 분할 및 패턴 인식 등의 문제에서 Degree-d-Cut 문제와 그 변형 문제들이 활용될 수 있습니다. 또한, 이러한 문제들을 해결함으로써 네트워크의 효율성을 향상시키거나 데이터의 구조를 파악하는 등의 다양한 응용이 가능합니다.