행렬 지수함수와 관련 유한 시간 Gramian의 Cholesky 인자 계산

Основні поняття

이 논문에서는 유한 시간 제어 Gramian의 Cholesky 인자를 효율적으로 계산하는 수치 방법을 제안합니다. 이 방법은 중간 크기의 밀집 행렬에 적용 가능하며, 전체 행렬을 계산하지 않고도 Gramian의 Cholesky 인자를 생성합니다.

Анотація

이 논문은 행렬 지수함수와 관련된 유한 시간 Gramian의 효율적인 수치 계산 방법을 제안합니다.

주요 내용은 다음과 같습니다:

1. 행렬 지수함수와 Gramian에 대한 이중 공식을 도출하여, 계산 비용을 최소화합니다.
2. 쉬프트된 르장드르 기저에서의 Petrov-Galerkin 방법을 사용하여 초기 근사치를 구합니다.
3. 행렬 지수함수와 Gramian의 Cholesky 인자에 대한 엄밀한 역오차 분석을 제공합니다. 이를 통해 이중 정밀도 수준의 정확도를 보장합니다.
4. 다양한 표준 테스트 사례에서 제안된 방법의 정확성을 입증합니다.
5. 이 방법은 Julia 패키지 FiniteHorizonGramians.jl로 구현되어 공개되었습니다.

Статистика

행렬 지수함수 Φ(A)는 eA로 정의됩니다.
유한 시간 제어 Gramian G(A, B)는 다음 Lyapunov 미분 방정식의 해로 정의됩니다:
˙Q(t) = AQ(t) + Q(t)A* + BB*, Q(0) = 0, t ∈ [0, 1]
G(A, B)는 항상 양반한정이며, 쌍 (A, B)가 가제어하면 양정부호입니다.

Цитати

"이 논문에서는 행렬 지수함수 Φ(A)와 Gramian G(A, B)의 Cholesky 인자 U(A, B)를 중간 단계를 거치지 않고 직접 계산하는 수치 알고리즘을 개발하고자 합니다."
"제안된 알고리즘과 이를 설계한 분석은 Julia 프로그래밍 언어로 구현되었으며, FiniteHorizonGramians.jl 패키지로 공개되었습니다."

Ключові висновки, отримані з

Computing the matrix exponential and the Cholesky factor of a related finite horizon Gramian

by Tony Stillfj... о arxiv.org 05-01-2024

https://arxiv.org/pdf/2310.13462.pdf

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행렬 지수함수와 Gramian의 Cholesky 인자를 동시에 계산하는 이 방법의 확장성은 어떠한가?

이 방법은 행렬 지수함수와 Gramian의 Cholesky 인자를 동시에 계산하는 효율적인 수치적 방법을 제안한다. 이 방법은 일반적인 밀도 행렬에 적용 가능하며, 전체 곱셈을 계산하지 않고 Gramian의 Cholesky 인자를 생성한다. 이 방법은 행렬 지수함수의 스케일링 및 제곱법을 확장한 것으로, Gramian에 대한 유사한 두 배 공식을 활용하여 필요한 계산 노력을 적게 유지한다. 또한, 이 방법은 백워드 에러 분석을 제공하여 근사치가 더블 정밀도에서 라운드오프 오차 수준까지 정확함을 보장한다. 이 방법은 다양한 표준 테스트 예제에서 실제로 정확성을 입증하였으며, Julia 패키지 FiniteHorizonGramians.jl에 구현되어 있어 다른 유한 정밀도 산술에 쉽게 적용할 수 있다.

행렬 지수함수와 Gramian의 Cholesky 인자 계산에 대한 다른 접근법은 무엇이 있는가?

행렬 지수함수와 Gramian의 Cholesky 인자 계산에 대한 다른 접근법으로는 전체 유한 지향성 Gramian을 먼저 계산한 다음 이를 Cholesky 인자화하는 방법이 있다. 이 방법은 Radon의 보조정리를 활용하여 Gramian을 계산하며, Van Loan의 작업과 유사한 두 배 공식을 사용하여 계산을 단순화한다. 또한, 수정된 Cholesky 방법을 사용하여 Gramian을 계산하고, 이를 최적화 또는 사전 조건으로 사용하는 방법도 있다. 그러나 이러한 방법은 Gramian이 매우 부정확할 때 문제가 발생할 수 있으며, 일반적으로 안정성이 보장되지 않을 수 있다.

이 방법이 다른 선형 필터 및 스무더 구현에 어떻게 활용될 수 있는가?

이 방법은 선형 필터 및 스무더의 수치적으로 견고한 구현에 응용될 수 있다. 특히, 제곱근 또는 배열 알고리즘을 통해 선형 필터 및 스무더를 구현하는 데 사용될 수 있다. 또한, 상태 공간 균형 및 절단 알고리즘에서도 사용될 수 있으며, 이를 통해 시스템의 균형을 유지하고 잘라낼 수 있다. 이 방법은 행렬 지수함수와 Gramian의 Cholesky 인자를 효율적으로 계산하고, 이를 통해 선형 필터 및 스무더의 구현을 개선할 수 있다. 또한, 이 방법은 다른 유한 정밀도 산술에 쉽게 적용할 수 있으며, 실제 테스트 예제에서 그 효과를 입증하였다.