Effiziente Algorithmen für das Gesamtdominanz- und Gesamtrömische Dominanzproblem in Einheitskreisgraphen

Основні поняття

In dieser Arbeit zeigen wir, dass das Gesamtrömische Dominanzproblem in Einheitskreisgraphen NP-vollständig ist. Außerdem präsentieren wir einen 7,17-Faktor-Approximationsalgorithmus für das Gesamtdominanzproblem und einen 6,03-Faktor-Approximationsalgorithmus für das Gesamtrömische Dominanzproblem in geometrischen Einheitskreisgraphen.

Анотація

Die Autoren untersuchen zwei Varianten des Dominanzproblems in Einheitskreisgraphen: das Gesamtdominanzproblem (TDS) und das Gesamtrömische Dominanzproblem (TRDS).

Zunächst zeigen sie, dass das TRDS-Problem in Einheitskreisgraphen NP-vollständig ist. Dazu führen sie eine polynomielle Reduktion vom Dominanzproblem in Gittergraphen zum TRDS-Problem in Einheitskreisgraphen durch.

Anschließend präsentieren sie zwei Approximationsalgorithmen:

1. TDS-UDG-SC: Dieser Algorithmus findet eine 7,17-Faktor-Approximation für das TDS-Problem in Einheitskreisgraphen. Der Algorithmus läuft in O(n log k) Zeit, wobei n die Anzahl der Knoten und k die Größe der unabhängigen Menge (D) im TDS-Problem ist.

2. TRDF-UDG-SC: Dieser Algorithmus findet eine 6,03-Faktor-Approximation für das TRDS-Problem in Einheitskreisgraphen. Der Algorithmus läuft ebenfalls in O(n log k) Zeit, wobei n die Anzahl der Knoten und k die Größe der Menge mit römischem Wert 2 (V2) im TRDS-Problem ist.

Beide Algorithmen verwenden eine Greedy-Heuristik für das Mengenüberdeckungsproblem als Subroutine.

Статистика

Die Größe des optimalen Dominanzsets in einem Gittergraphen G ist höchstens 44/9 mal so groß wie die Größe des optimalen Dominanzsets in G.
Die Größe des optimalen Gesamtrömischen Dominanzsets in einem Einheitskreisgraphen G ist mindestens doppelt so groß wie die Größe des optimalen Dominanzsets in G.

Цитати

"Domination, a fundamental concept in graph theory, serves as a pivotal element across diverse fields such as computer networks, network security, telecommunication networks, and social networks."
"Unit disk graphs (UDGs) stand out as geometric representations where nodes correspond to points in the Euclidean plane, and edges connect nodes within a specified distance threshold."

Ключові висновки, отримані з

Improved Total Domination and Total Roman Domination in Unit Disk Graphs

by Sasmita Rout... о arxiv.org 04-05-2024

https://arxiv.org/pdf/2404.03511.pdf

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