Der Hauptbefund dieser Arbeit ist, dass die ultrametrische Rückgratstruktur eines gewichteten, ungerichteten Graphen mit positiven Kantengewichten genau der Vereinigung aller minimalen Spannwälder entspricht (Theorem 2.4 und Korollar 2.4.1). Dies ist überraschend, da das Gewicht eines Spannbaums als Summe seiner Kanten definiert ist, die ultrametrische Rückgratstruktur jedoch ohne jegliche Summation berechnet werden kann.
Der Beweis erfolgt in mehreren Schritten. Zunächst wird gezeigt, dass jeder minimale Spannbaum ein Teilgraph der ultrametrischen Rückgratstruktur ist (Lemma 2.2). Umgekehrt enthält die ultrametrische Rückgratstruktur mindestens einen minimalen Spannbaum als Teilgraph (Lemma 2.3). Aus diesen beiden Lemmata folgt dann direkt das Hauptresultat.
Für gerichtete Graphen gilt diese Äquivalenz zwischen ultrametrischer Rückgratstruktur und minimalen Spannbäumen/Wäldern jedoch nicht mehr. Stattdessen zeigt sich, dass die ultrametrische Rückgratstruktur eine neue Verallgemeinerung des Konzepts minimaler Spannbäume auf gerichtete Graphen darstellt, die sich von anderen bekannten Verallgemeinerungen wie minimalen äquivalenten Graphen oder minimalen Spannarboreszenzen unterscheidet.
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by Jordan C Roz... о arxiv.org 03-20-2024
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