Optimierung auf Hadamard-Räumen mit Hilfe der Subgradienten-Methode

Основні поняття

Wir präsentieren eine neue Methode zur Optimierung auf Hadamard-Räumen, die auf der Idee der horospha¨rischen Konvexität basiert und keine Referenz auf Tangentialräume oder Exponentialabbildungen erfordert.

Анотація

In diesem Artikel wird eine Subgradienten-Methode für die Optimierung auf Hadamard-Räumen vorgestellt. Im Gegensatz zu den üblichen Ansätzen, die auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten und geodätischer Konvexität basieren, verwendet diese Methode stattdessen die Idee der horospha¨rischen Konvexität.
Der Algorithmus selbst und die Komplexitätsanalyse kommen ohne Referenz auf Tangentialräume und Exponentialabbildungen aus. Stattdessen nutzen sie globale geometrische Konstruktionen wie Horobälle. Dadurch ist die Methode nicht nur auf Riemannsche Mannigfaltigkeiten, sondern auf allgemeine Hadamard-Räume anwendbar, einschließlich solcher mit unbeschränkt negativer Krümmung.
Die Komplexitätsanalyse zeigt, dass die Methode eine Konvergenzrate von O(1/√n) erreicht, ohne dass eine untere Schranke für die Krümmung des Raumes benötigt wird. Dies ist im Gegensatz zu früheren Arbeiten, die eine solche Schranke voraussetzen mussten.
Insgesamt präsentiert der Artikel einen neuen, geometrisch anschaulichen Zugang zur Subgradienten-Optimierung auf nicht-euklidischen Räumen.

Статистика

Die Hadamard-Räume, in denen die Methode anwendbar ist, haben einen beschränkten Durchmesser D > 0.
Die Zielfunktion f ist global Lipschitz-stetig mit Konstante L > 0.
Das Optimum f* wird in einem Punkt x* ∈ X erreicht.

Цитати

"Unser Algorithmus selbst und unsere Komplexitätsanalyse machen keinerlei Gebrauch von Tangentialräumen und Exponentialabbildungen."
"Im Gegensatz zu früheren Arbeiten benötigt unsere Komplexitätsanalyse keine untere Schranke für die Krümmung des Raumes."

Ключові висновки, отримані з

Horoballs and the subgradient method

by Adrian S. Le... о arxiv.org 03-26-2024

https://arxiv.org/pdf/2403.15749.pdf

Глибші Запити

Wie lässt sich die Methode auf Probleme mit nicht-kompakten Mengen X verallgemeinern?

Die Methode kann auf Probleme mit nicht-kompakten Mengen X verallgemeinert werden, indem man die Konzepte der horosphärischen Konvexität und der Projektions- und Support-Orakel auf unbeschränkte Räume erweitert. Statt einer endlichen Menge X kann X eine unbeschränkte Teilmenge eines Hadamard-Raums sein. In diesem Fall muss die Projektion auf X möglicherweise angepasst werden, um die Nähe zu einem Punkt in X zu gewährleisten, da X nicht mehr zwangsläufig kompakt ist. Die Support-Orakel können weiterhin verwendet werden, um die Richtung der größten Abnahme der Zielfunktion zu bestimmen, auch wenn X unbeschränkt ist.

Welche Erweiterungen der Methode sind möglich, um auch nicht-Lipschitz-stetige Zielfunktionen zu behandeln?

Um nicht-Lipschitz-stetige Zielfunktionen zu behandeln, können verschiedene Ansätze verfolgt werden. Eine Möglichkeit besteht darin, die Methode auf stetige, aber nicht-Lipschitz-stetige Funktionen zu erweitern, indem man lokale Lipschitz-Bedingungen verwendet, um die Konvergenz zu gewährleisten. Dies könnte die Verwendung von Subgradienten mit begrenzter Konvergenzgeschwindigkeit erfordern. Eine andere Möglichkeit besteht darin, Approximationstechniken zu verwenden, um nicht-Lipschitz-stetige Funktionen durch eine Folge von Lipschitz-stetigen Funktionen zu approximieren. Dies könnte die Anwendung der Methode auf eine Sequenz von Lipschitz-stetigen Funktionen ermöglichen, die gegen die nicht-Lipschitz-stetige Funktion konvergiert.

Welche praktischen Anwendungen der horospha¨rischen Konvexität in der Optimierung sind denkbar, die über die hier betrachteten Beispiele hinausgehen?

Über die hier betrachteten Beispiele hinaus gibt es zahlreiche praktische Anwendungen der horosphärischen Konvexität in der Optimierung. Ein mögliches Anwendungsgebiet ist die Optimierung in komplexen Netzwerkstrukturen, bei denen horosphärische Konvexität genutzt werden kann, um effiziente Routing-Algorithmen zu entwickeln. In der Bildverarbeitung könnte die horosphärische Konvexität verwendet werden, um segmentierte Regionen in Bildern zu optimieren. Darüber hinaus könnten in der Finanzmathematik horosphärische Konvexitätstechniken zur Portfolio-Optimierung eingesetzt werden, um das Risiko zu minimieren und Renditen zu maximieren. Die horosphärische Konvexität bietet somit ein breites Anwendungsspektrum in verschiedenen Optimierungsbereichen.