Eine präzise untere Schranke für die minimale Dispersion

Основні поняття

Wir geben eine neue untere Schranke für die minimale Dispersion einer Punktmenge im Einheitswürfel und deren Umkehrfunktion im Hochdimensionsregime an. Dies geschieht, indem wir nur eine sehr kleine Klasse von Testboxen betrachten, was es uns ermöglicht, die Begrenzung der Dispersion auf ein Problem in der extremalen Mengenlehre zu reduzieren.

Анотація

Der Artikel befasst sich mit der Untersuchung der minimalen Dispersion von Punktmengen im d-dimensionalen Einheitswürfel. Die Dispersion eines Punktsets X ist definiert als das Volumen der größten achsenparallelen Box im Einheitswürfel, die X nicht schneidet.
Die Autoren geben eine neue untere Schranke für die minimale Dispersion disp*(n,d) eines Punktsets mit n Punkten im d-dimensionalen Einheitswürfel an. Dazu betrachten sie eine sehr spezielle Klasse von Testboxen, die nur einen kleinen Teil aller möglichen achsenparallelen Boxen umfasst. Sie zeigen, dass jede Punktmenge, die alle diese Testboxen trifft, eine untere Schranke für die minimale Dispersion liefert.
Der Schlüssel zum Beweis ist eine Verbindung zu r-cover-freien Familien aus der extremalen Mengenlehre. Mithilfe eines Resultats von Alon und Asodi können die Autoren eine untere Schranke für die Größe einer solchen r-cover-freien Familie angeben, die dann direkt in eine untere Schranke für die minimale Dispersion übersetzt wird.
Das Hauptresultat ist, dass die untere Schranke für die inverse Funktion der minimalen Dispersion N(ε,d) optimal ist, wenn ε hinreichend groß ist. Dies ist überraschend, da die bisher bekannten oberen Schranken eine schwächere Abhängigkeit von 1/ε aufwiesen.

Статистика

Für jede positive ganze Zahl d ≥ 2 und jede reelle Zahl ε mit 1/4 ≥ ε ≥ 1/(4√d) gilt:
N(ε,d) > c log d / (ε^2 * log(1/ε))
wobei c eine absolute Konstante ist.

Цитати

"Es scheint, dass eine logarithmische Abhängigkeit von d und eine lineare Abhängigkeit von 1/ε einander ausschließen. Was noch überraschender sein könnte, ist, dass diese untere Schranke erhalten wird, indem man nur eine sehr kleine Klasse von achsenparallelen Testboxen betrachtet."

Ключові висновки, отримані з

A tight lower bound on the minimal dispersion

by Matě... о arxiv.org 03-21-2024

https://arxiv.org/pdf/2311.10666.pdf

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