Die kubische nichtlineare Schrödinger-Gleichung mit rauhem Potential

Основні поняття

Die Regularität der Lösung der kubischen nichtlinearen Schrödinger-Gleichung wird durch die Regularität des Potentials bestimmt. Es werden scharfe Regularitätscharakterisierungen und Wohlgestelltheitsanalysen für dieses Modell präsentiert.

Анотація

Die Analyse umfasst zwei Hauptteile:

Neue optimale Ergebnisse zur Wohlgestelltheitsanalyse auf PDE-Ebene. Die Ergebnisse konzentrieren sich darauf, wie die Regularität der Lösung durch die Regularität des Potentials beeinflusst wird, wobei quantitative und explizite Charakterisierungen geliefert werden. Außerdem werden Nicht-Wohlgestelltheits-Ergebnisse etabliert, um die Schärfe der erhaltenen Regularitätscharakterisierungen zu zeigen.
Ein neues effizientes numerisches Verfahren, dessen Konvergenzanalyse und Simulationen, die die analytischen Ergebnisse illustrieren. Basierend auf den erhaltenen Regularitätsergebnissen wird eine geeignete numerische Diskretisierung für das Modell entworfen und deren optimale Konvergenz nachgewiesen.
Die numerischen Experimente verifizieren nicht nur die theoretischen Regularitätsergebnisse, sondern bestätigen auch die etablierte Konvergenzrate des vorgeschlagenen Schemas. Außerdem wird ein Vergleich mit anderen bestehenden Schemas durchgeführt, um die bessere Genauigkeit des neuen Schemas im Falle eines rauhen Potentials zu demonstrieren.

Статистика

Die Lösung der Schrödinger-Gleichung erfüllt die Erhaltungssätze für Masse und Energie.
Die Regularität der Lösung hängt von der Regularität des Potentials ab.
Für ein Potential ξ ∈ ̂bs,p mit s ≥ 0 und 2 < p ≤ ∞ist die Lösung lokal wohlgestellt in Hs+γp−(T).
Für ein Potential ξ ∈ Hs,p′(T) mit s ≥ 0 und 2 ≤ p < ∞ist die Lösung lokal wohlgestellt in Hs+γp(T).

Цитати

"Die Regularität der Lösung wird im Wesentlichen durch die Regularität des Potentials bestimmt."
"Für einen Potentialfunktion ξ ∈ ̂bs,p ist Hs+γp− die maximal zu erwartende Regularität der Lösung."
"Für einen Potentialfunktion ξ ∈ Hs ist Hs+2 die maximal zu erwartende Regularität der Lösung."

Ключові висновки, отримані з

The cubic nonlinear Schrödinger equation with rough potential

by Norbert J. M... о arxiv.org 03-26-2024

https://arxiv.org/pdf/2403.16772.pdf

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