Основні поняття
本稿では、固定グラフを部分グラフとして含まないグラフの辺の最大数を問う極値グラフ理論における古典的な問題であるザランキェヴィチ問題について解説する。特に、幾何学、特に結合幾何学から生じるグラフに焦点を当て、この問題への応用を探求する。
概要
本稿は、極値グラフ理論における基本的な問題であるザランキェヴィチ問題の調査を提示し、幾何学的グラフ、特に結合幾何学に焦点を当てています。
ザランキェヴィチ問題
ザランキェヴィチ問題は、固定グラフ H を部分グラフとして含まない n 個の頂点を持つグラフに存在できる辺の最大数を決定することを目的としています。この最大値は ex(n, H) で表されます。
トゥラーンの定理と拡張
極値グラフ理論における先駆的な結果であるトゥラーンの定理は、H が r 個の頂点上の完全グラフである場合に ex(n, H) の正確な特性評価を提供します。この定理は、H の彩色数が 2 より大きい任意のグラフ H に対して ex(n, H) の漸近境界を提供するエルデシュ、ストーン、シモノヴィッツによってさらに拡張されました。
二部グラフにおける課題
ただし、H が二部グラフの場合、ex(n, H) の漸近境界を決定することは、依然として困難な課題です。ザランキェヴィチ問題は、H が完全二部グラフ Ks,t である場合の ex(n, H) の漸近境界を具体的に尋ね、この課題を浮き彫りにしています。
コヴァリ-ソス-トゥラーンの定理
コヴァリ、ソス、トゥラーンの定理は、ザランキェヴィチ問題の上限を提供し、ex(n, Ks,t) = O(n2-1/t) であると述べています。この上限は、t = 2、3 の場合、または s が t に対して十分に大きい場合に漸近的にタイトであることが示されています。
幾何学におけるザランキェヴィチ問題
結合幾何学は、幾何学的に定義されたグラフにおけるザランキェヴィチ問題の現れと見なすことができます。たとえば、有限射影平面における点と線の結合グラフは、ザランキェヴィチ問題の下限構成を提供します。
コヴァリ-ソス-トゥラーン境界の強化
ホストグラフに追加の制限を課すことで、コヴァリ-ソス-トゥラーン境界を強化できます。たとえば、ホストグラフが Kt,t のコピーを含まないことに加えて、固定二部グラフ H の誘導コピーを含まない場合、辺の数は O(n2-ε) によって制限されます。ここで、ε は H に依存する正の定数です。
有界VC次元を持つグラフ
VC次元は、ハイパーグラフの複雑さを測定するものであり、ザランキェヴィチ問題の研究に役立ちます。有界VC次元を持つグラフは、コヴァリ-ソス-トゥラーン境界よりも改善された上限を示します。
結合幾何学
結合グラフは、極値グラフ理論と結合幾何学の間の密接な関係を示しています。平面内の点と線の結合に関するセメレディ-トゥラーンの定理は、そのようなグラフの結合の数を制限する古典的な結果です。
結論
ザランキェヴィチ問題は、極値グラフ理論における根本的な問題であり、特に二部グラフの場合、多くの未解決の問題が残っています。幾何学、特に結合幾何学は、この問題に対する貴重な洞察と応用を提供します。
Статистика
有限射影平面の次数が q の場合、点の集合は q2 + q + 1 個の要素で構成され、線の集合も q2 + q + 1 個の要素で構成されます。
各線には q + 1 個の点が含まれています。
各点は正確に q + 1 本の線に属しています。
2 つの点は 1 つの線上にあります。
2 つの線は 1 つの点で交わります。