Effiziente Verarbeitung und Analyse von Markov-verrauschten Gradientenmethoden erster Ordnung: von Beschleunigung bis hin zu Variationsungleichungen

Основні поняття

Dieser Artikel präsentiert einen einheitlichen Ansatz für die theoretische Analyse von Gradientenmethoden erster Ordnung für stochastische Optimierung und Variationsungleichungen mit Markov-Rauschen. Der Ansatz deckt sowohl nicht-konvexe als auch stark konvexe Minimierungsprobleme ab und ermöglicht es, die Abhängigkeit von der Mischzeit der zugrunde liegenden Rauschsequenz optimal zu gestalten.

Анотація

Der Artikel befasst sich mit stochastischen Optimierungsproblemen, die Markov-Rauschen beinhalten. Es wird ein einheitlicher Ansatz für die theoretische Analyse von Gradientenmethoden erster Ordnung für stochastische Optimierung und Variationsungleichungen präsentiert.

Der Ansatz deckt sowohl nicht-konvexe als auch stark konvexe Minimierungsprobleme ab. Um eine optimale (lineare) Abhängigkeit von der Mischzeit der zugrunde liegenden Rauschsequenz zu erreichen, wird ein randomisiertes Batch-Größen-Schema verwendet, das auf der Multilevel-Monte-Carlo-Methode basiert.

Darüber hinaus ermöglicht die Technik das Eliminieren der einschränkenden Annahmen früherer Forschungsarbeiten zum Markov-Rauschen, wie die Notwendigkeit eines begrenzten Definitionsbereichs und gleichmäßig beschränkter stochastischer Gradienten.

Die Erweiterung auf Variationsungleichungen unter Markov-Rauschen ist originell. Zusätzlich werden untere Schranken angegeben, die die Orakelkomplexität unserer Methode im Fall stark konvexer Optimierungsprobleme widerspiegeln.

Статистика

Für alle x ∈ R^d gilt: E_π[∇F(x, Z)] = ∇f(x).
Für alle z ∈ Z und x ∈ R^d gilt: ∥∇F(x, z) - ∇f(x)∥^2 ≤ σ^2 + δ^2 ∥∇f(x)∥^2.
Die Markov-Kette {Z_i}_{i=0}^∞ ist stationär mit Mischzeit τ.

Цитати

"Um eine optimale (lineare) Abhängigkeit von der Mischzeit der zugrunde liegenden Rauschsequenz zu erreichen, wird ein randomisiertes Batch-Größen-Schema verwendet, das auf der Multilevel-Monte-Carlo-Methode basiert."
"Die Erweiterung auf Variationsungleichungen unter Markov-Rauschen ist originell."

Ключові висновки, отримані з

First Order Methods with Markovian Noise

by Aleksandr Be... о arxiv.org 04-02-2024

https://arxiv.org/pdf/2305.15938.pdf

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