本研究では、Hopcroft問題の量子複雑性を調査している。Hopcroft問題は、n個の線と n個の点が与えられた際に、ある点が何らかの線上にあるかどうかを判定する基本的な計算幾何学の問題である。
古典的な複雑性は良く研究されており、最良のアルゴリズムはO(n^4/3)時間で動作する。本研究では、2つの量子アルゴリズムを提案し、ともにe
O(n^5/6)の時間複雑性を持つ。
第1のアルゴリズムは、パーティション木と量子バックトラッキングアルゴリズムに基づいている。これにより、ある超平面が与えられた際に、その超平面上の点を効率的に検出できる。
第2のアルゴリズムは、量子ウォークと履歴非依存動的データ構造を使用している。この動的データ構造は、線の配置を保持し、効率的な点位置クエリをサポートする。点と線の数が異なる場合、この量子ウォークベースのアルゴリズムが漸近的により高速である。
これらの量子データ構造の高速化は、他の幾何学的問題にも有用である可能性がある。
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by Vlad... lúc arxiv.org 05-03-2024
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