유럽 및 아시아 콜옵션의 암시적 변동성에 대한 스토캐스틱 변동성 바슐레이 모델의 영향

Khái niệm cốt lõi

바슐레이 모델의 일반적인 스토캐스틱 변동성 프로세스에서 유럽 및 산술 아시아 콜옵션의 만기 단기 행태를 분석하였다. 말리아빈 미분법을 사용하여 만기 접근 시 암시적 변동성의 수준과 기울기를 계산하였다.

Tóm tắt

이 논문은 바슐레이 모델의 일반적인 스토캐스틱 변동성 프로세스에서 유럽 및 산술 아시아 콜옵션의 단기 만기 행태를 분석한다.

먼저 말리아빈 미분법을 사용하여 만기 접근 시 암시적 변동성의 수준을 계산하였다. 그 다음으로 변동성 모델의 거칠기에 따라 암시적 변동성의 기울기에 대한 단기 만기 근사 공식을 도출하였다.

이 결과들을 SABR, 분수 Bergomi, 국소 변동성 모델에 적용하고 근사 공식의 정확성을 확인하는 수치 시뮬레이션을 제공하였다.

Thống kê

만기 접근 시 유럽 및 아시아 콜옵션의 ATM 암시적 변동성 수준은 현재 변동성과 같다.
유럽 콜옵션의 ATM 암시적 변동성 기울기의 단기 만기 극한은 ρ/σ0T^2 * ∫_0^T ∫_r^T E[DW'_r σ_u] du dr 이다.
아시아 콜옵션의 ATM 암시적 변동성 기울기의 단기 만기 극한은 9ρ/σ0T^5 * ∫_0^T (T-r) ∫_r^T (T-u)^2 E[DW'_r σ_u] du dr 이다.

Trích dẫn

없음

Thông tin chi tiết chính được chắt lọc từ

On the implied volatility of European and Asian call options under the stochastic volatility Bachelier model

by Elis... lúc arxiv.org 09-30-2024

https://arxiv.org/pdf/2308.15341.pdf

Yêu cầu sâu hơn

다른 옵션 유형(예: 장벽 옵션, 디지털 옵션 등)에 대한 단기 만기 암시적 변동성 행태는 어떠한가?

장벽 옵션과 디지털 옵션과 같은 다른 옵션 유형의 단기 만기 암시적 변동성 행태는 전통적인 유럽형 및 아시아형 옵션과는 다르게 나타날 수 있습니다. 장벽 옵션은 특정 가격 수준에 도달했을 때만 유효해지거나 무효화되는 특성을 가지고 있습니다. 이러한 특성으로 인해 장벽 옵션의 가격은 기초 자산의 변동성과 그 변동성이 특정 장벽에 도달할 확률에 크게 의존합니다. 따라서, 장벽 옵션의 단기 만기 암시적 변동성은 기초 자산의 가격이 장벽에 가까워질수록 급격히 증가할 수 있습니다.
디지털 옵션의 경우, 이 옵션은 기초 자산의 가격이 특정 수준을 초과하거나 미달할 때 고정된 금액을 지급합니다. 이로 인해 디지털 옵션의 암시적 변동성은 기초 자산의 가격이 만기일에 가까워질수록 급격히 변화할 수 있으며, 특히 ATM(At-The-Money) 지점에서 더 뚜렷하게 나타납니다. 이러한 옵션들은 가격의 이진적 특성으로 인해, 단기 만기에서의 암시적 변동성은 기초 자산의 가격 경로에 따라 크게 달라질 수 있습니다.

점프 확산 프로세스를 포함한 더 일반적인 기초자산 모델에서는 어떤 결과를 얻을 수 있는가?

점프 확산 프로세스를 포함한 기초 자산 모델은 자산 가격의 변동성을 더 잘 설명할 수 있는 장점을 제공합니다. 이러한 모델은 자산 가격이 연속적인 변동뿐만 아니라 불연속적인 점프를 포함하여 변화할 수 있음을 나타냅니다. 점프 확산 모델을 사용하면, 단기 만기 암시적 변동성의 행동이 더 복잡해질 수 있으며, 특히 점프의 빈도와 크기에 따라 암시적 변동성이 크게 영향을 받을 수 있습니다.
예를 들어, 점프가 자주 발생하는 경우, 단기 만기에서의 암시적 변동성은 점프의 크기와 방향에 따라 급격히 증가할 수 있습니다. 반면, 점프가 드물게 발생하는 경우, 암시적 변동성은 상대적으로 안정적일 수 있습니다. 이러한 점프 확산 모델은 특히 금융 위기와 같은 비정상적인 시장 상황에서 자산 가격의 급격한 변동을 설명하는 데 유용합니다. 따라서, 점프 확산 프로세스를 포함한 모델은 단기 만기 암시적 변동성의 예측에 있어 더 나은 성능을 보일 수 있습니다.

암시적 변동성 곡률에 대한 단기 만기 근사 공식을 도출할 수 있는가?

암시적 변동성 곡률에 대한 단기 만기 근사 공식은 Malliavin 미적분학과 같은 수학적 기법을 통해 도출할 수 있습니다. 본 논문에서 제시된 결과에 따르면, 단기 만기에서의 암시적 변동성 곡률은 기초 자산의 변동성과 그 변동성의 미분에 의존합니다.
특히, 유럽형 및 아시아형 옵션의 경우, 암시적 변동성 곡률은 다음과 같은 형태로 근사할 수 있습니다:
[
\lim_{T \to 0} T^{\max(1/2 - H, 0)} \partial_k I(t, k^*) = \text{특정 기초 자산 모델에 대한 기대값}
]
이 공식은 기초 자산의 변동성 모델에 따라 다르게 나타날 수 있으며, Hurst 지수 H의 값에 따라 곡률의 행동이 달라질 수 있습니다. H가 1/2보다 클 경우, 곡률은 0으로 수렴할 수 있으며, H가 1/2보다 작을 경우에는 특정한 비율로 수렴하게 됩니다. 이러한 근사 공식은 다양한 변동성 모델에 적용 가능하며, 특히 단기 만기 옵션 가격 결정에 유용한 도구가 될 수 있습니다.