Stratifizierte Typentheorie: Eine Alternative zur Universenhierarchie

Khái niệm cốt lõi

Anstatt eine Hierarchie von Typenuniversen zu verwenden, um logische Inkonsistenz zu vermeiden, stratifiziert StraTT die Typurteile selbst. Dadurch können Abhängigkeiten zwischen Typen auf kontrollierte Weise eingeschränkt werden, ohne eine Universenhierarchie zu benötigen.

Tóm tắt

Die Arbeit präsentiert Stratifizierte Typentheorie (StraTT) als Alternative zu Typentheorien mit Universenhierarchien. Anstatt Typen in einer Hierarchie von Universen zu organisieren, stratifiziert StraTT die Typurteile selbst und beschränkt die Domäne abhängiger Funktionen auf strikt niedrigere Ebenen.

StraTT besteht aus zwei Teilen:

1. Das Subsystem subStraTT verwendet nur stratifizierte abhängige Funktionen und Verschiebung (Displacement) von globalen Definitionen. Es wurde in Agda als konsistent bewiesen.
2. Das volle StraTT fügt zusätzlich unabhängige Funktionstypen mit "schwimmender" Domäne hinzu, um Ausdruckskraft zurückzugewinnen. Die Konsistenz des vollen StraTT ist noch ein offenes Problem.

StraTT wurde implementiert, um die Praktikabilität des Ansatzes zu demonstrieren. Die Implementierung unterstützt stratifizierte Datentypen, Fallunterscheidungen und Rekursion. Beispiele wie die Darstellung von entscheidbaren Typen, Leibniz-Gleichheit und abhängigen Paaren zeigen die Ausdruckskraft von StraTT.

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Stratified Type Theory

by Jonathan Cha... lúc arxiv.org 04-09-2024

https://arxiv.org/pdf/2309.12164.pdf

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Wie könnte man die Konsistenz des vollen StraTT-Systems beweisen, insbesondere unter Berücksichtigung der Wechselwirkung zwischen "schwimmenden" Funktionen und der Kumulativität der Urteile?

Um die Konsistenz des vollen StraTT-Systems zu beweisen, insbesondere unter Berücksichtigung der Wechselwirkung zwischen "schwimmenden" Funktionen und der Kumulativität der Urteile, könnte man verschiedene Ansätze verfolgen:

Induktive-Reflexive Definitionen: Man könnte eine inductive-reflexive Definition des logischen Zusammenhangs verwenden, ähnlich wie bei der Beweisführung zur Konsistenz von MLTT. Diese Art der Definition erlaubt es, die logische Relation auf verschiedene Ebenen zu parametrisieren und dann durch eine wohlgeordnete Induktion über die Ebenen zu instanziieren.

Strukturierte Beweisführung: Durch eine strukturierte Beweisführung, die die Wechselwirkung zwischen "schwimmenden" Funktionen und der Kumulativität der Urteile explizit berücksichtigt, kann man die Einschränkungen und Anforderungen klar definieren und sicherstellen, dass alle Interaktionen konsistent sind.

SMT-Solver: Ein SMT-Solver kann verwendet werden, um die Konsistenzbedingungen des Systems zu überprüfen und mögliche Widersprüche aufzudecken. Durch die Verwendung eines solchen Werkzeugs kann man die Konsistenz des Systems formal überprüfen und potenzielle Inkonsistenzen frühzeitig erkennen.

Durch die Kombination dieser Ansätze und eine sorgfältige Analyse der Wechselwirkungen zwischen den verschiedenen Elementen des StraTT-Systems kann die Konsistenz des vollen Systems nachgewiesen werden.

Welche Vor- und Nachteile hat StraTT im Vergleich zu bestehenden beweisassistierenden Systemen, die Universenhierarchien verwenden, in Bezug auf die Benutzbarkeit und Handhabung von Typenebenen?

Vorteile von StraTT:

Einfachere Handhabung: StraTT bietet eine alternative Methode zur Verwaltung von Typenebenen, die möglicherweise einfacher und intuitiver ist als Universenhierarchien.
Klarere Einschränkungen: Durch die Stratifikation der Typen und die Beschränkung auf niedrigere Ebenen können potenzielle Inkonsistenzen vermieden werden, was zu einer klareren und konsistenteren Typtheorie führt.
Erweiterte Ausdruckskraft: Die Einführung von "schwimmenden" Funktionen ermöglicht eine größere Flexibilität und Ausdruckskraft bei der Definition von Funktionstypen.
Nachteile von StraTT:

Komplexität der Implementierung: Die Implementierung von StraTT, insbesondere mit schwimmenden Funktionen, kann komplexer sein als die Verwendung von Universenhierarchien in bestehenden Systemen.
Begrenzte Vergleichbarkeit: Da StraTT ein alternatives System zur Verwaltung von Typenebenen ist, kann es schwieriger sein, direkte Vergleiche mit bestehenden Systemen anzustellen, die auf Universenhierarchien basieren.
Konsistenzbeweis: Der Beweis der Konsistenz des vollen StraTT-Systems, insbesondere mit schwimmenden Funktionen, kann eine Herausforderung darstellen und erfordert möglicherweise zusätzliche Anstrengungen.

Gibt es andere Ansätze, die Ausdruckskraft von StraTT zu erweitern, ohne die Konsistenz zu gefährden?

Ja, es gibt verschiedene Ansätze, um die Ausdruckskraft von StraTT zu erweitern, ohne die Konsistenz zu gefährden. Einige mögliche Ansätze sind:

Erweiterung der Typkonstrukte: Durch die Einführung neuer Typkonstrukte oder Erweiterungen bestehender Konstrukte kann die Ausdruckskraft von StraTT erhöht werden. Dies könnte die Definition von komplexeren Datentypen, abhängigen Paaren oder anderen abstrakten Strukturen umfassen.

Integration von Modulen: Die Integration von Modulen oder Bibliotheken in StraTT kann die Funktionalität erweitern und die Möglichkeit bieten, komplexere Strukturen und Algorithmen zu definieren.

Erweiterung der Inferenzregeln: Durch die Erweiterung der Inferenzregeln von StraTT können neue Schlussfolgerungen und Typableitungen ermöglicht werden, die die Ausdruckskraft des Systems verbessern, ohne die Konsistenz zu gefährden.

Durch die gezielte Erweiterung und Anpassung von StraTT können neue Funktionen und Möglichkeiten geschaffen werden, um die Ausdruckskraft des Systems zu verbessern, ohne dabei die Konsistenz zu beeinträchtigen.