核心概念
本文探討加權射影空間中高維度超曲面的有理性問題,並提出兩種新的有理性構造方法,證明了在任何維度和任何體上,都存在著大量非常普遍、擬光滑且有理的加權射影超曲面。
摘要
論文摘要
本論文研究了複雜射影空間中高維度超曲面的有理性問題。傳統上認為,除了三次曲面外,度數大於等於 3 的超曲面通常都是無理性的。然而,本文針對加權射影空間中的超曲面,提出兩種新的有理性構造方法,證明了即使在度數相對較高的情況下,仍然存在著大量有理的加權射影超曲面。
主要內容
- 引言: 介紹了超曲面的有理性問題,以及加權射影空間中超曲面的研究現狀。
- 預備知識: 定義了與加權射影簇相關的必要術語,例如擬光滑性、良構性、循環商奇點等。
- 加權射影超曲面的有理性準則:
- 提出了一個關於度數與權重關係的有理性準則(Proposition 3.1),推廣了 Okada 的度數準則。
- 證明了由可逆 Delsarte 多項式定義的超曲面在滿足一定條件下是有理的(Theorem 3.2)。
- 證明了某些加權射影超曲面允許在有理簇上具有截面的雙有理二次叢結構,因此是有理的(Theorem 3.3)。
- 終端範例:
- 利用第三節的有理性構造方法,證明了在任何維度和任何體上,都存在著大量非常普遍、擬光滑且有理的加權射影超曲面(Theorem 1.2)。
- 給出了一個基於 Reid-Tai 準則的充分條件,用於判斷由循環多項式定義的超曲面是否為終端的(Proposition 4.1)。
- 舉例說明了如何利用 Theorem 3.3 構造具有非平凡模空間的有理加權射影超曲面(Example 4.3)。
總結
本文通過引入新的有理性構造方法,為加權射影超曲面的有理性問題提供了新的見解。這些結果表明,與傳統的預期相反,即使在度數相對較高的情況下,仍然存在著大量有理的加權射影超曲面。
统计
在 n 維加權射影空間中,存在著度數為 d = 3 * 2^(n+1) + (-1)^(n+2) 的擬光滑有理超曲面。
當維度 n ≥ 7 時,上述超曲面具有終端奇點。
存在一個 6 維加權射影超曲面 X23 ⊂ PC(9(2), 8(2), 7(2), 5(2)),其度數大於權重最大值的兩倍,但每個擬光滑成員都是有理且終端的。
引用
"Contrary to the expectation in ordinary projective space, there are many examples with d > 2 max{a0, . . . , an+1} where X is very general, quasismooth, and rational."
"We show that the answer to Question 1.1 is actually affirmative in all dimensions n ≥ 6 (and for all n ≥ 3 if we weaken “terminal” to “klt”)."