주식 옵션 가격 결정 모형인 Black-Scholes 방정식과 Merton-Garman 방정식의 국소적 동등성에 대하여

核心概念

주식 옵션 가격 결정 모형인 Black-Scholes 방정식과 Merton-Garman 방정식은 국소적으로 동등하다. 이는 주식 가격 변화에 대한 국소 대칭성을 요구하면 변동성이 게이지 장으로 도입되어 Merton-Garman 방정식이 도출된다는 것을 의미한다.

摘要

이 논문에서는 주식 옵션 가격 결정 모형인 Black-Scholes(BS) 방정식과 Merton-Garman(MG) 방정식의 국소적 동등성을 분석한다.

먼저 BS 방정식의 표준 형태와 Hamilton 형태를 소개한다. BS 방정식에서 변동성은 자유 매개변수로 취급되며, 투자자들은 이 변동성을 추정하여 옵션 매입 여부를 결정한다.

다음으로 MG 방정식의 표준 형태와 Hamilton 형태를 소개한다. MG 방정식은 변동성을 확률 변수로 취급하여 BS 방정식을 확장한 것이다.

이어서 BS Hamilton 연산자의 대칭성 분석을 통해 변동성이 게이지 장으로 도입되어 MG 방정식이 도출됨을 보인다. 이를 통해 BS 방정식과 MG 방정식이 국소적으로 동등함을 확인한다.

더 나아가 게이지 Hamilton 연산자를 도입하여 MG 방정식보다 더 일반적인 형태를 제시한다. 이 게이지 Hamilton 연산자에서도 BS 방정식이 국소적으로 회복됨을 보인다.

마지막으로 게이지 원리를 이용하여 주식 가격과 변동성 간의 함수적 관계를 도출하고, 이를 통해 변동성 추정 개선 방안을 제시한다.

统计

주식 가격 S(t)의 동역학은 다음과 같이 주어진다:
dS(t)/dt = φS(t) + σS(t)R(t)
여기서 φ는 주식 수익률, R(t)는 평균 0의 가우시안 백색 잡음, σ는 변동성이다.
옵션 포트폴리오 Π는 다음과 같이 정의된다:
Π = C - ∂C/∂S S
이 포트폴리오의 무위험 조건 dΠ/dt = rΠ로부터 BS 방정식이 도출된다.
MG 방정식은 다음과 같이 주어진다:
dS/dt = φS dt + S√V R1
dV/dt = λ + μV + ζV^α R2
여기서 V = σ^2는 변동성이며, R1, R2는 상관관계를 가진 가우시안 잡음이다.

引用

"주식 가격 변화에 대한 국소 대칭성을 요구하면 변동성이 게이지 장으로 도입되어 Merton-Garman 방정식이 도출된다."

从中提取的关键见解

On the Local equivalence of the Black Scholes and the Merton Garman equations

by Ivan Arraut 在 arxiv.org 10-03-2024

https://arxiv.org/pdf/2410.00925.pdf

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