線性橢圓型、拋物型和雙曲型偏微分方程的第一階系統最小二乘神經網路

本文提出了一個概念框架,利用深度神經網路數值求解有界多面體域上的線性橢圓型、拋物型和雙曲型偏微分方程。這些偏微分方程被重新表述為在參數化的深度神經網路族上最小化等價的、良定義的第一階系統的最小二乘(LSQ)餘差。這種LSQ餘差a)等於或與偏微分方程的弱餘差成比例,b)對於局部子網絡是可加的,表示神經網路相對於偏微分方程餘差的局部"不平衡",c)作為神經網路訓練的數值損失函數,d)即使在訓練不完全的情況下,也構成可計算的、(準)最優的數值誤差估計量,在自適應LSQ有限元方法的背景下。此外,提出了一種自適應神經網路增長策略,假設LSQ損失函數的精確數值最小化,可以產生神經網路序列,其實現以最優速率收斂到第一階系統LSQ公式的精確解。