Berechnung des Spektrums und Pseudospektrums von Operatoren mit unendlichem Volumen aus lokalen Patches

Concepts de base

Für Operatoren mit endlicher lokaler Komplexität kann das Spektrum und Pseudospektrum mit Fehlerschranken berechnet werden, indem nur lokale Patches des Operators betrachtet werden.

Résumé

Der Artikel befasst sich mit der Berechnung des Spektrums und Pseudospektrums von linearen Operatoren auf unendlich-dimensionalen Hilberträumen. Insbesondere werden Operatoren mit endlicher lokaler Komplexität betrachtet, die in vielen physikalischen Anwendungen wie der Festkörperphysik auftreten.

Der Hauptbeitrag ist der Nachweis, dass das Spektrum und Pseudospektrum solcher Operatoren mit Fehlerschranken berechnet werden können, indem nur lokale Patches des Operators betrachtet werden. Dies ist möglich, da für Operatoren mit endlicher lokaler Komplexität die Kenntnis der lokalen Struktur ausreicht, um Unter- und Obergrenzen für das Spektrum und Pseudospektrum zu berechnen.

Zunächst wird gezeigt, wie sich das Problem auf Operatoren mit endlicher Reichweite reduzieren lässt. Dann wird eine untere Schranke für die Norm-Funktion ρH hergeleitet, die es erlaubt, das Spektrum und Pseudospektrum zu berechnen. Abschließend werden Algorithmen präsentiert, die das Spektrum und Pseudospektrum mit Fehlerschranken approximieren.

Stats

Für jeden Punkt x ∈ Rn und Länge L > 0 erfüllt der Operator H die Ungleichung |Hxy| ≤ C / d(x, y)^(n+ε) für alle x, y ∈ Γ.
Für jeden Punkt x ∈ Rn und Länge L > 0 gibt es nur endlich viele äquivalente Klassen von Patches Γ ∩ BL(x) bezüglich der äquivalenten Wirkung von H.

Citations

"Für Operatoren mit endlicher lokaler Komplexität kann das Spektrum und Pseudospektrum mit Fehlerschranken berechnet werden, indem nur lokale Patches des Operators betrachtet werden."
"Die Möglichkeit der einseitigen Fehlerschranke durch eine obere Schranke für den Abstand zum Spektrum hat auch eine intermediäre SCI-Klasse Σ1 inspiriert, die zwischen den Klassen ∆1 und ∆2 liegt, den Klassen von SCI = 1 mit und ohne Fehlerschranke."

Idées clés tirées de

Computing the spectrum and pseudospectrum of infinite-volume operators from local patches

by Paul Hege,Ma... à arxiv.org 03-29-2024

https://arxiv.org/pdf/2403.19055.pdf

Questions plus approfondies

Wie lässt sich die Methode auf andere Klassen von unendlich-dimensionalen Operatoren erweitern, die nicht die Bedingung der endlichen lokalen Komplexität erfüllen

Die Methode kann auf andere Klassen von unendlich-dimensionalen Operatoren erweitert werden, die nicht die Bedingung der endlichen lokalen Komplexität erfüllen, indem alternative Strukturen oder Bedingungen eingeführt werden. Zum Beispiel könnten Operatoren mit speziellen Symmetrien oder regulären Mustern untersucht werden, um spezifische Eigenschaften auszunutzen. Darüber hinaus könnten Techniken aus der Funktionalanalysis oder Operatortheorie angewendet werden, um die Berechenbarkeit des Spektrums in diesen Fällen zu ermöglichen.

Welche zusätzlichen Strukturen oder Bedingungen an den Operator könnten die Berechenbarkeit des Spektrums und Pseudospektrums in anderen Fällen ermöglichen

Zusätzliche Strukturen oder Bedingungen an den Operator, die die Berechenbarkeit des Spektrums und Pseudospektrums in anderen Fällen ermöglichen könnten, sind beispielsweise die Einführung von speziellen Randbedingungen, die Verwendung von spektralen Invarianzen oder die Berücksichtigung von speziellen geometrischen Eigenschaften des Operators. Darüber hinaus könnten Techniken wie die Störungstheorie oder Approximationsmethoden verwendet werden, um das Spektrum und Pseudospektrum von komplexeren Operatoren zu berechnen.

Welche Anwendungen in der mathematischen Physik und Quantenmechanik könnten von den hier vorgestellten Ergebnissen profitieren

Die hier vorgestellten Ergebnisse könnten in verschiedenen Anwendungen der mathematischen Physik und Quantenmechanik von Nutzen sein. Beispielsweise könnten sie bei der Untersuchung von quantenmechanischen Systemen mit unendlich-dimensionalen Hilberträumen, wie z.B. in der Festkörperphysik oder Quantenfeldtheorie, angewendet werden. Darüber hinaus könnten sie bei der Modellierung von quantenmechanischen Phänomenen in komplexen Systemen oder bei der Analyse von quantenmechanischen Effekten in nichtlinearen Systemen von Bedeutung sein. Die Ergebnisse könnten auch in der numerischen Berechnung von Spektren und Pseudospektren für verschiedene physikalische Modelle verwendet werden, um Einblicke in die Eigenschaften und das Verhalten dieser Systeme zu gewinnen.