Analytische Formeln für Informationsdivergenz und Likelihood-Verhältnisse von Poisson-Prozessen und Punktmustern

Concepts de base

Dieser Artikel entwickelt einen analytischen Rahmen zur Untersuchung von Informationsdivergenz und Likelihood-Verhältnissen, die mit Poisson-Prozessen und Punktmustern auf allgemeinen messbaren Räumen verbunden sind. Die Hauptergebnisse umfassen explizite analytische Formeln für Kullback-Leibler-Divergenzen, Rényi-Divergenzen, Hellinger-Abstände und Likelihood-Verhältnisse der Gesetze von Poisson-Punktmustern in Bezug auf ihre Intensitätsmaße.

Résumé

Der Artikel beginnt mit einer Einführung in Poisson-Punktmuster und Informationsdivergenzmaße wie Rényi-Divergenz und Tsallis-Divergenz.

In Abschnitt 3 wird ein theoretischer Rahmen für Tsallis-Divergenzen von sigma-endlichen Maßen entwickelt. Es wird gezeigt, dass Tsallis-Divergenzen eine Darstellung als lineare Kombination von Rényi-Divergenzen von Poisson-Verteilungen zulassen. Außerdem werden Charakterisierungen von absoluter Stetigkeit und gegenseitiger Singularität in Bezug auf Tsallis-Divergenzen hergeleitet.

Abschnitt 4 präsentiert Hauptergebnisse zu Likelihood-Verhältnissen von Poisson-Punktmustern. Für den Fall endlicher Intensitätsmaße wird eine klassische Dichtendarstellung hergeleitet. Für den allgemeinen Fall sigma-endlicher Intensitätsmaße wird eine Formel unter Verwendung kompensierter Poisson-Integrale entwickelt.

In Abschnitt 5 werden dann Formeln für Rényi-Divergenzen, Kullback-Leibler-Divergenzen und Hellinger-Abstände von Poisson-Punktmustern präsentiert. Außerdem werden Charakterisierungen der absoluten Stetigkeit und der Existenz eines gemeinsamen dominierenden Poisson-Punktmusters hergeleitet.

Abschließend werden in Abschnitt 6 Anwendungen auf Poisson-Prozesse, zusammengesetzte Poisson-Prozesse und markierte Poisson-Punktmuster diskutiert.

Stats

Die Kullback-Leibler-Divergenz zwischen Poisson-Prozessen mit Intensitätsfunktionen f und g ist gegeben durch:
R∞
0 (ft log ft/gt + gt - ft) dt
Die Rényi-Divergenz der Ordnung α ≠ 1 zwischen Poisson-Prozessen mit Intensitätsfunktionen f und g ist gegeben durch:
R∞
0 (αft + (1-α)gt - fαt g1-αt )/(1-α) dt
Der Hellinger-Abstand zwischen Poisson-Prozessen mit Intensitätsfunktionen f und g ist gegeben durch:
√1 - exp(-1/2 T1/2(λ||μ)), wobei T1/2(λ||μ) = R∞
0 (√ft - √gt)2 dt

Citations

"Dieser Artikel entwickelt einen analytischen Rahmen zur Untersuchung von Informationsdivergenz und Likelihood-Verhältnissen, die mit Poisson-Prozessen und Punktmustern auf allgemeinen messbaren Räumen verbunden sind."
"Die Hauptergebnisse umfassen explizite analytische Formeln für Kullback-Leibler-Divergenzen, Rényi-Divergenzen, Hellinger-Abstände und Likelihood-Verhältnisse der Gesetze von Poisson-Punktmustern in Bezug auf ihre Intensitätsmaße."

Idées clés tirées de

Information divergences and likelihood ratios of Poisson processes and point patterns

by Lass... à arxiv.org 04-02-2024

https://arxiv.org/pdf/2404.00294.pdf

Questions plus approfondies

Wie lassen sich die Ergebnisse auf andere Klassen von Punktprozessen wie z.B. determinantal oder Gibbs-Punktprozesse verallgemeinern?

Die Ergebnisse können auf andere Klassen von Punktprozessen wie determinantal oder Gibbs-Punktprozesse verallgemeinert werden, indem ähnliche Analysetechniken angewendet werden. Determinantale Punktprozesse sind spezielle Punktprozesse, die auf determinantenbasierten Kernen beruhen und in verschiedenen Anwendungen wie Quantenmechanik und maschinellem Lernen verwendet werden. Die Likelihood-Verhältnisse und Informationsdivergenzen können auch für diese Punktprozesse analysiert werden, um Einblicke in ihre statistischen Eigenschaften zu gewinnen. Ähnlich können die Ergebnisse auf Gibbs-Punktprozesse angewendet werden, die in der statistischen Mechanik und der Bildverarbeitung verwendet werden. Durch die Anpassung der entwickelten analytischen Formeln können Informationen über die Divergenzen und Likelihood-Verhältnisse dieser Punktprozesse gewonnen werden.

Welche praktischen Anwendungen der hergeleiteten Formeln in Bereichen wie Maschinelles Lernen, Signalverarbeitung oder Bioinformatik sind denkbar?

Die hergeleiteten Formeln zu Informationsdivergenzen und Likelihood-Verhältnissen von Poisson-Punktprozessen haben vielfältige praktische Anwendungen in verschiedenen Bereichen:

Maschinelles Lernen: Die Formeln können zur Modellierung von räumlichen Daten in maschinellen Lernalgorithmen verwendet werden, z.B. zur Clusteranalyse oder Mustererkennung in Bildern.

Signalverarbeitung: In der Signalverarbeitung können die Formeln zur Analyse von räumlichen Signalen und zur Mustererkennung eingesetzt werden, z.B. in der Radarbildgebung oder der Spracherkennung.

Bioinformatik: In der Bioinformatik können die Formeln zur Analyse von Genexpressionsdaten, Proteininteraktionen oder neuronaler Aktivität verwendet werden, um Muster und Zusammenhänge zu identifizieren.

Durch die Anwendung dieser Formeln können komplexe Datenstrukturen analysiert, Muster extrahiert und statistische Modelle verbessert werden.

Inwiefern können die Erkenntnisse über Informationsdivergenz und Likelihood-Verhältnisse zu einem besseren Verständnis der statistischen Eigenschaften von Poisson-Punktprozessen beitragen?

Die Erkenntnisse über Informationsdivergenzen und Likelihood-Verhältnisse von Poisson-Punktprozessen können zu einem tieferen Verständnis ihrer statistischen Eigenschaften beitragen, indem sie Einblicke in die Beziehungen zwischen den Intensitätsmaßen verschiedener Punktprozesse bieten. Durch die Analyse von Divergenzen und Likelihood-Verhältnissen können Gemeinsamkeiten, Unterschiede und Abhängigkeiten zwischen den Poisson-Punktprozessen aufgezeigt werden. Dies kann dazu beitragen, Muster in den Daten zu identifizieren, die Vorhersagegenauigkeit von Modellen zu verbessern und die zugrunde liegenden Strukturen der Punktprozesse besser zu verstehen. Letztendlich können die Erkenntnisse dazu beitragen, fundiertere statistische Schlussfolgerungen über Poisson-Punktprozesse zu ziehen und ihr Verhalten in verschiedenen Anwendungen besser zu modellieren.