多面體的構面哈密頓性
本文探討多面體的構面哈密頓性，特別是排列多面體、關聯面體和圖關聯面體，並探討其在組合學和計算幾何中的意義。
卡拉特奧多里猜想的證明
每個閉合嚴格凸表面在歐氏三維空間至少有兩個臍點。
近似 Klee 測量問題和聯合體積估計的下界
本文提出了一個下界結果,證明了在某種查詢模型下,計算聯合體積的近似值需要Ω(n/ε2)次查詢。此外,作者還提出了一個更有效的算法,可以在O((n + 1/ε2) · logO(d) n)的時間內計算Klee測量問題的(1+ε)近似值。
接觸即時子、反接觸反演及證明Shelukhin猜想
本文證明了Shelukhin關於任何封閉接觸流形上的平移點的猜想。主要工具是使用了帶有Legendrian邊界條件的接觸即時子,以及利用反接觸反演的Z2對稱性來克服接觸積的非良態性。
雙軸層的Brylinski beta函數
本文定義了雙軸層在歐氏空間子流形上的Brylinski beta函數,並證明了它可以解析延拓到整個複平面上,成為一個只有簡單極點的有理函數。對於三維空間中的曲線,我們還計算了一些特定極點的值。
在布朗球面上沿著其測地線根的大地測地平面
本文介紹並研究了一個稱為大地測地布朗平面的隨機非緊湊空間,並證明它是布朗球面在其從根出發的簡單測地線上某一點的分布極限(對於局部Gromov-Hausdorff-Prokhorov-Uniform拓撲)。我們還證明它是布朗平面沿其唯一無限測地線重新根的局部極限。此外,我們討論了這個空間的各種性質,如其拓撲、其測地射線的行為以及其在分布下的不變性。
離散高斯映像問題
給定離散球面測度μ和λ,找到一個凸體K,使得μ是通過K的徑向高斯映像得到的λ的拉回。
弱 Aleksandrov 條件下的高斯映射問題
在假設離散測度 μ 和絕對連續測度 λ 滿足弱 Aleksandrov 條件的情況下, 存在一個多面體 P 使得 μ = λ(P, ·)。
完全曲面上的 Toponogov 猜想的證明
我們證明了 Toponogov 關於完全凸平面的猜想,即這樣的平面必須包含一個無窮遠的臍點。
一般化黎曼曲率到雷格度量
本文提出了一種在由三角剖分的流形上具有不連續度量的情況下，對黎曼曲率張量的一般化定義。這種定義包括了元素內部的曲率、跨單元界面的第二基本形式跳躍以及頂點處的角度缺陷。我們證明了當度量逼近一個光滑度量時，這種一般化的黎曼曲率張量會以相同的速率在H^-2範數下收斂到經典的黎曼曲率張量。
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