多次元ストカスティック熱方程式の有限体積スキームの収束率

Core Concepts

本研究では、ストカスティック熱方程式の有限体積スキームの収束率を導出する。時間離散化にはセミ陰的オイラー法を、空間離散化には二点流束近似法を用いた。初期値と拡散項の正則性の下で、変分解と有限体積スキームの解の L2ノルムの誤差が O(τ1/2 + h + hτ−1/2)の収束率を持つことを示した。

Abstract

本研究では、ストカスティック熱方程式の有限体積スキームの収束率を解析している。
まず、ストカスティック熱方程式の変分解の存在と一意性、および追加的な正則性について述べている。
次に、セミ陰的オイラー法による時間離散化スキームを導入し、その解の安定性と正則性を示している。
その後、変分解と時間離散化解、時間離散化解と有限体積スキームの解の誤差を個別に評価し、最終的に変分解と有限体積スキームの解の L2ノルムの誤差が O(τ1/2 + h + hτ−1/2)の収束率を持つことを証明している。
この収束率は、初期値と拡散項の正則性の下で得られたものである。ストカスティックな性質により、決定論的な場合に比べて収束率が劣化していることが特徴的である。

Stats

τ = 時間ステップ
h = 空間メッシュサイズ
Λ = 有界な開連結多角形領域
u0 ∈ L2(Ω; L2(Λ)) = 初期値
g: R → R = リプシッツ連続な関数で線形成長を持つ

Quotes

なし

Key Insights Distilled From

Convergence rates for the finite volume scheme of the stochastic heat equation

by Niklas Sapou... at arxiv.org 04-09-2024

https://arxiv.org/pdf/2404.05655.pdf

Deeper Inquiries

ストカスティック熱方程式以外の SPDE に対する有限体積スキームの収束率解析はどのように行えるか?

本研究では、ストカスティック熱方程式に対する有限体積スキームの収束率解析を提供しています。他の確率微分方程式（SPDE）に対しても同様の手法を適用することが可能です。具体的には、適切な空間および時間の離散化を行い、初期値や非線形項の正則性を適切に扱うことで、他のSPDEに対する有限体積スキームの収束率解析を行うことができます。重要な点は、初期値や項の正則性を適切に取り扱い、数値スキームの安定性と収束性を確保することです。